Question

已知：點(diǎn)A（6，0），B（0，3），線段AB上一點(diǎn)C，過C分別作CD⊥x軸于D，作CE⊥y軸于E，若四邊形ODCE為正方形．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若過點(diǎn)C、E的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)落在正方形ODCE內(nèi)（包括四邊形上），求a的取值范圍；
（3）在（2）題的拋物線中與直線AB相交于點(diǎn)C和另一點(diǎn)P，若△PEC∽△PBE，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法可以求出AB的解析式．C點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，因而可以設(shè)坐標(biāo)是（a，a）．代入直線AC的解析式，就可以求出C的坐標(biāo)．
（2）C、E的坐標(biāo)已得到，把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，就可以得到a，b，c的兩個關(guān)系式，頂點(diǎn)落在正方形ODCE內(nèi)，即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定大于或等于0且小于2．就可以得到a的范圍．
（3）直線AB的解析式可以求得是y=-

1

2

x+3，過點(diǎn)P作PH⊥EB于點(diǎn)H，易證△PEH∽△CBE，可設(shè)P（m，-2m+2），根據(jù)P在直線AB上，可以求出P（-

2

3

，

10

3

），根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式：y=kx+b
則

6k+b=0 b=3

，
解得

k=- 1 2 b=3

，
∴y=-

1

2

x+3．（2分）
由題意可設(shè)C（a，a），則有-

1

2

a+3=a，
解得a=2，
∴C（2，2）．（3分）

（2）由（1）可得E（0，2）
∵拋物線的頂點(diǎn)在正方形內(nèi)，且過C，E兩點(diǎn)，
∴a＞0，且拋物線的對稱軸為x=1，（14分）
∵

4a+2b+c=2 c=2

，
即b=-2a，
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；

4ac-b2

4a

=

4a×2-4a2

4a

=2-a．（5分）
∴由題意得0≤2-a＜2，
解得0＜a≤2．（6分）

（3）∵△PEC∽△PBE
∴

PE

PC

=

PB

PE

=

BE

EC

=

1

2

，∠PEB=∠ECB．（8分）
過點(diǎn)P作PH⊥EB于點(diǎn)H，可知△PEH∽△CBE
∴

PH

HE

=

BE

EC

=

1

2

∴可設(shè)P（m，-2m+2）
∵P在直線y=-

1

2

x+3上，
∴-

1

2

m+3=-2m+2，
解得m=-

2

3

（10分）
∴P（-

2

3

，

10

3

），
設(shè)拋物線y=a（x-1）²+k，可知

a+k=2 25 9 a+k= 10 3

．
解得

a= 3 4 k= 5 4

，
∴y=

3

4

(x-1)2+

5

4

．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．以及相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等．