Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點（點P與點C不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接AA1 ， 射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F．
（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；
（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β．當(dāng)60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)α=60°時，點E、F與點B重合．已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）相似
（2）解：存在，理由如下：

∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，

∴△BEF∽△AEP，

若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可，

∴∠BAE=∠ABE，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAE= ，

∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，

∴ ，

即α=2β+60°

（3）解：連接BD，交A1B1于點G，

過點A1作A1H⊥AC于點H．

∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，

∴A1B1∥AC，

由題意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，

∴△PAA1是等邊三角形，

∴A1H=sin60°A1P= ，

在Rt△ABD中，BD= ，

∴BG= ，

∴ （0≤x＜2）．

【解析】解：（1）相似 由題意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
則∠PAA1=∠PBB1= ，
∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；
【考點精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，需要了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．