Question

如圖，AB為⊙Ｏ的直徑，弦ＣＤ⊥ＡＢ于點Ｅ．

（１）當AB＝10，CD＝６時，求OE的長；
（２）∠OCD的平分線交⊙Ｏ于點Ｐ，當點Ｃ在上半圓（不包括Ａ、Ｂ點）上移動時，對于點Ｐ，下面三個結論：
①到CD的距離保持不變；②平分下半圓；③等分．
其中正確的為　　　　　，請予以證明．

Answer 1

（１）4（２）　②，證明見解析

解（１）∵直徑ＡＢ⊥弦ＣＤ，
∴ＡＢ平分弦ＣＤ，即ＣＥ＝ＣＤ＝３．………………………………２分
在Ｒt△ＯＣＥ中，由勾股定理，
得ＯＥ＝＝＝４；…………………………………４分
（２）　②　，………………………………………………………………６分
證明：連結ＯＰ（如圖２）．
………………………………………………７分
∵ＯＣ＝ＯＰ，∴∠２＝∠３，……………………………………………８分
又∵∠１＝∠２，
∴∠１＝∠３，
∴ＣＤ∥ＯＰ．………………………………………………………………９分
∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＯＰ⊥ＡＢ，…………………………………………１０分
∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ＝９０°，∴＝，……………………１２分
即點Ｐ平分下半圓．
（1）由垂徑定理求CE，在Rt△OCE中，由勾股定理求OE；
（2）正確的為②，連接OP，利用角平分線的定義得∠1=∠2，由半徑OC=OP，得∠2=∠3，從而有∠1=∠3，則OP∥CD，CD⊥AB，則OP⊥AB，即點P平分下半圓．