Question

【題目】如圖，AB、CB、CD分別與⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥OB交CD于N．

（1）當(dāng)OB＝6cm，OC＝8cm時(shí)，求⊙O的半徑；

（2）求證：MN＝NG．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半徑為4.8；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；連接OF，則OF⊥BC，根據(jù)勾股定理就可以求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑；
（2）根據(jù)切線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB，

又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；，
連接OF，則OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC==10，
∵S△BOC=OBOC=BCOF，
∴6×8=10×OF，
∴OF=4.8，
∴⊙O的半徑為4.8；
（2）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點(diǎn)E、F、G，
∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°，
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半徑，
∴MN是⊙O的切線(xiàn)，
∴MN=NG．