Question

已知：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長（OA<OC）是方程的兩個(gè)根，且拋物線的對稱軸是直線x=1。

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的長是x2-5x+4=0的根，OA<OA， ∴OA=1，OC=4， ∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸， ∴A（-1，0），C（0，-4）， ∵拋物線的對稱軸為x=1， ∴由對稱性可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）， ∴A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）； （2）∵點(diǎn)C（0，-4）在拋物線圖象上， ∴c=-4， ∴ 將A（-1，0），B（3，0）代入得， 解得， ∴所求拋物線解析式為：； （3）根據(jù)題意，BD=m，則AD=4-m， 在Rt△OBC中，BC==5， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則sin∠EDF=sin∠CBA=， ∴， ∴， ∴S△CDE=S△ADC-S△ADE==， ∵， ∴當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值2， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）。