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        1. 【題目】我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“果圓”.如圖,A,B,C,D是“果圓”與坐標軸的交點,點D的坐標為(0,8),且AB=6,點P是以AB為直徑的半圓的圓心,P的坐標為(1,0),連接DB,AD,動點E,F(xiàn)分別從A,O兩點出發(fā),以相同的速度沿x軸正方向運動,當F到達B點時兩點同時停止,過點F作FGBD交AD于點G.

          (1)求“果圓”拋物線部分的解析式,并寫出自變量的取值范圍;

          (2)在“果圓”上是否存在一點H,使得DBH為直角三角形?若存在,求出H點的坐標;若不存在,說明理由;

          (3)設M,N分別是GE,GF的中點,求在整個運動過程中,MN所掃過的圖形面積.

          【答案】(1) 拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8.(2) 滿足條件的點H的坐標為(,)或(﹣,﹣)或(,5+2)或(﹣,5﹣2).(3)

          【解析】

          試題分析:(1)由題意可設拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),把點D(0,8)代入即可求出a,解決問題.(2)分三種情形討論①D是直角頂點.②B是直角頂點.③H是直角頂點.分別求出點H坐標即可.(3)根據(jù)MN所掃過的圖形是平行四邊形,利用平行四邊形的面積公式計算即可.

          試題解析:(1)由題意,D(0,8),A(﹣2,0),B(4,0),

          設拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),把點D(0,8)代入得a=﹣1,

          拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8.

          (2)如圖1中,

          ①當D為直角頂點時,

          直線BD解析式為y=﹣2x+8,

          DH1BD,

          直線DH1的解析式為y=x+8,

          ,解得

          點H1坐標為(,).

          ②當B為直角頂點時,直線BH2解析式為y=x﹣2,設H2(m, m﹣2),

          由題意PH2=3,

          (m﹣1)2+m﹣2)2=9,

          整理得到5m2﹣16m﹣16=0,

          解得m=﹣或4,

          點H2坐標為(﹣,﹣).

          ③當H為直角頂點時,設H(m,﹣m2+2m+8),BD的中點K(2,4)

          由題意HK=BD=2

          (m﹣2)2+(﹣m2+2m+4)2=20,

          m(m﹣4)(m2﹣3)=0,

          m=0或4或,

          H3,5+2),H4的坐標為(﹣,5﹣2).

          綜上所述,滿足條件的點H的坐標為()或(﹣,﹣)或(,5+2)或(﹣,5﹣2).

          (3)如圖3中,設M1N1是起始位置,M2N2S 終止位置.

          M1N1AB,M2N2AB,

          M1N1=E1F1=1,M2N2=E2F2=1,

          M1N1M2N2,M1N1=M2N2,

          四邊形M1N1N2M2是平行四邊形,作N1GAB于J,N2HAB于H.

          DN2=BN2,HN2OD,

          OH=BH,

          HN2=DO=4,

          ∵∠N1OJ=N2BH,N1JO=N2HB,

          ∴△N1JO∽△N2HB,

          N1J=,

          MN所掃過的圖形面積就是平行四邊形M1N1N2M2的面積=1×(4﹣)=

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