Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，規(guī)定：拋物線(xiàn)與軸圍成的封閉區(qū)域稱(chēng)為“區(qū)域”(不包含邊界)．

(1)如果該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(1，3)，求的值，并指出此時(shí)“區(qū)域”有_____個(gè)整數(shù)點(diǎn)；(整數(shù)點(diǎn)就是橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

(2)求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)；

(3)在(2)的條件下，如果區(qū)域中僅有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)6；(2)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)或．

【解析】

（1）將點(diǎn)(1，3)代入拋物線(xiàn)解析式中，即可求出值，再分別計(jì)算當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而可得在“區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得結(jié)論；

（2）利用配方法將拋物線(xiàn)的解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分及兩種情況考慮，依照題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得出關(guān)于的不等式組，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(1，3)，∴，解得：．

當(dāng)時(shí)，，，∴點(diǎn)，點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，∴(0，1)、(0，2)兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“區(qū)域”；

當(dāng)時(shí)，，∴(1，1)、(1，2)兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“區(qū)域”；

當(dāng)時(shí)，，∴(2，1)、(2，2)兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“區(qū)域”．

綜上所述：此時(shí)“區(qū)域”有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)．

故答案為：6．

（2）∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)時(shí)，如圖1所示，此時(shí)有，解得：；

當(dāng)時(shí)，如圖2所示，此時(shí)有，解得：．

綜上所述：在（2）的條件下，如果區(qū)域中僅有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍為或．