Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，與過點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），過作軸，交直線于，交拋物線于點(diǎn)，于點(diǎn)，求的最大值；

（3）若是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的長為．是否存在，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)B、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可得；

（2）先由（1）的結(jié)論求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，設(shè)，可得點(diǎn)M、N坐標(biāo)，從而可用t表示MN的長，然后根據(jù)的面積的兩種求法列出等式解出NE的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；

（3）分點(diǎn)在左側(cè)和在右側(cè)兩種情況，分別求出MN的值，再根據(jù)求解即可．

（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得

解得

故拋物線的表達(dá)式為；

（2）令，代入拋物線解析式得

設(shè)直線的解析式為

將點(diǎn)代入直線的解析式得

解得

則直線的解析式為

設(shè)，（）

∴，

∴

∵

又∵

∴

解得

由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，隨t的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨t的增大而減小

則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；

（3）∵

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴，

①在左側(cè)時(shí)，

若，即，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

∵，方程無實(shí)根

則此時(shí)不存在，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，

若，即，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

解得，（舍）

則當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

綜上，存在這樣的t，t的值為．