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        1. 已知:如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,且AD=AE=2.若點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線BC方向移動,當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動x(x>0)秒時(shí),射線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線交于點(diǎn)G,連接精英家教網(wǎng)GE交AD于點(diǎn)O,并延長交BC延長線于點(diǎn)H.
          (1)求△EGA的面積S與點(diǎn)F運(yùn)動時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系;
          (2)當(dāng)時(shí)間x為多少秒時(shí),GH⊥AB;
          (3)證明△GFH的面積為定值.
          分析:(1)在三角形EGA中,底邊AG的長可通過相似三角形ADG和BDF利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出,而AG邊上的高可用AE•sin60°來表示,然后利用三角形的面積公式即可得出S、t的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)當(dāng)AB⊥GE時(shí),連接DE,由已知推出三角形ADE是等邊三角形,可得∠AEG=60°,即∠AEG=∠DEO=30°,然后根據(jù)AG與DE的平行得出內(nèi)錯(cuò)角的相等求出∠AGE=30°,進(jìn)而根據(jù)等角對等邊可得出AG=AE=2,在(1)中已經(jīng)求出了AG的表達(dá)式),根據(jù)得出的等量關(guān)系即可求出t的值;
          (3)由GA∥BC,DE∥BC,分別得出比例,經(jīng)過轉(zhuǎn)化可得出FH=BC,又由圖觀察可知△ABC與△GFH的高相等,所以
          △ABC與△GFH的面積相等,求出等邊三角形ABC的面積即為三角形GFH的面積,所以△GFH的面積為定值.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如圖,∵GA∥BC
          AG
          BF
          =
          AD
          DB

          又∵AB=6,AD=2
          ∴DB=4
          ∵BF=t
          AG
          t
          =
          2
          4

          ∴AG=
          1
          2
          t
          過點(diǎn)E作EK⊥AG,垂足為K,
          ∵∠BCA=60°,
          ∴∠CAK=60°,
          ∴∠AEK=30°,
          ∵AE=2,
          ∴AK=1,根據(jù)勾股定理得:EK=
          3

          ∴S=
          1
          2
          AG•EK=
          1
          2
          ×
          1
          2
          3
          =
          3
          4
          t;

          (2)如圖,連接DE,由AD=AE可知,△ADE為等邊三角形.
          ∵AB⊥HG,
          根據(jù)等腰三角形的三線合一可知:AO=OD,∠AEO=∠DEO,
          ∵GA∥DE,
          ∴∠AGE=∠OED,
          ∴∠AGE=∠AEO,
          ∴AG=AE=2,
          1
          2
          t=2,
          ∴t=4,
          即當(dāng)t=4時(shí),AB⊥HG;

          (3)∵GA∥BC,
          GE
          EH
          =
          AE
          EC
          ,
          GE
          GH
          =
          AE
          AC
          ,
          ∵DE∥BC,
          DE
          FH
          =
          GE
          GH
          ,
          DE
          BC
          =
          AE
          AC
          ,
          ∴FH=BC,
          ∵△ABC與△GFH的高相等,
          ∴S△GFH=S△ABC=
          1
          2
          ×6×3
          3
          =9
          3

          ∴不論t為何值,△GFH的面積均為9
          3
          點(diǎn)評:本題主要考查了學(xué)生掌握相似三角形的性質(zhì)與判斷,同時(shí)要求學(xué)生掌握等邊三角形的有關(guān)性質(zhì),會利用等邊三角形中特殊角來求值,本題要求學(xué)生必須掌握求定值的方法,鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力,提高了學(xué)生結(jié)合條件尋求結(jié)論解決數(shù)學(xué)問題的能力.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)請問:AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
          (2)如果∠B=60°,請問BD和DC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案