Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，，，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)；

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與重合）時(shí)，求證：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)度為，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并判斷是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
（3）直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

略

（1）證明：∵四邊形OABC為矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP   ----------------------3分
(2)   由（1）知OA·BQ=AP·BP   ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-=
即L=    (0＜m＜4)
=
∴當(dāng)m="2" 時(shí)，   L（最�。�=   -----------------6分
(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ為等腰三角形，則PO="PQ" .
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖    
       
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴(1,3)
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖   
     
此時(shí)△QBP≌△PAO 
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7              "
∴(7,3)                                       
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖
     
此時(shí)∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能與△OPA全等,
即PQ不可能與PO相等,
此時(shí)點(diǎn)P不存在.
綜上所述，知存在(1,3), (7,3).  ---------------9分