Question

【題目】問題探究

（1）如圖1，請(qǐng)?jiān)诎霃綖?/span>的半圓內(nèi)（含弧和直徑）畫出面積最大的三角形，并求出這個(gè)三角形的面積；

（2）如圖2，請(qǐng)?jiān)诎霃綖?/span>的內(nèi)（含弧）畫出面積最大的矩形，并求出這個(gè)矩形的面積；

問題解決

（3）如圖3，是一塊草坪，其中，，，某開發(fā)商現(xiàn)準(zhǔn)備再征一塊地，把擴(kuò)充為四邊形，使，是否存在面積最大的四邊形？若存在，求出四邊形的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析；；（2）圖形見解析；矩形；（3）存在，最大面積為．

【解析】

（1）過圓心O作直徑的垂線得到最大的，求面積即可；

（2）作兩條互相垂直的直徑，作對(duì)角線，連成的四邊形即為最大的矩形，求其面積即可；

（3）如圖3，過A作AE⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于E，分別求出EC、AE、AC的長(zhǎng)，求的面積，在中，AC是定值，∠D=30°是定值，畫的外接圓O，由圖3可知：當(dāng)D點(diǎn)與AC的距離最大時(shí)，的面積最大，設(shè)AC的中垂線交⊙O于，交AC于F，則即為D點(diǎn)與AC的最大距離，求出，代入面積公式求面積即可．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接、，則即為所求．

（2）如圖2，過點(diǎn)作的任一直徑，再過點(diǎn)作，交于點(diǎn)、，連接、、、，則矩形即為所求．

矩形；

（3）存在面積最大的四邊形，理由如下：

如圖3，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，

．

，，

，．

．

，

．

在中，是定值，是定值，

如圖3，、、三點(diǎn)在同一上（作、的中垂線，交點(diǎn)即為圓心），

的長(zhǎng)度一定，

當(dāng)點(diǎn)與的距離最大時(shí)，的面積最大．

設(shè)的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

則即為點(diǎn)與的最大距離．

，

連接、，則。

是等邊三角形．

，．

∴．

，

在中，，

，

，

．

即四邊形的最大面積為．