Question

【題目】（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA=3，OB=3，OC=5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：

①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

②線段OD的長(zhǎng)；

③∠BDC的度數(shù)．

（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC=90°？請(qǐng)給出證明．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②OD=OB=4；③150°；（2）當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時(shí)，∠ODC=90°．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=60°，于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；

②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BD，加上∠OBD=60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以O(shè)D=OB=4；

③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO=60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AO=3，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，則可判斷△OBD為等腰直角三角形，則OD=OB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當(dāng)CD2+OD2=OC2時(shí)，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°．

解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=60°，

∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；

②∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，

∴BO=BD，

而∠OBD=60°，

∴△OBD為等邊三角形；

∴OD=OB=4；

③∵△BOD為等邊三角形，

∴∠BDO=60°，

∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵32+42=52，

∴CD2+OD2=OC2，

∴△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

（2）OA2+2OB2=OC2時(shí)，∠ODC=90°．理由如下：

∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，

∴△OBD為等腰直角三角形，

∴OD=OB，

∵當(dāng)CD2+OD2=OC2時(shí)，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴OA2+2OB2=OC2，

∴當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時(shí)，∠ODC=90°．