Question

（2013•廈門質(zhì)檢）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PD．
（1）若∠PAB=37°，正方形的邊長(zhǎng)為5，求PA的長(zhǎng)度；
（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）若PA=PD，過點(diǎn)P作PE⊥AD，垂足為E，判斷直線PE與半圓的位置關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接PB，由AB為半圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠APB為直角，在直角三角形APB中，利用余弦函數(shù)定義及AB的長(zhǎng)，即可求出PA的長(zhǎng)；
（2）直線PE與半圓的位置關(guān)系為相切，理由為：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，過P作PO⊥AB，由四邊形ABCD為正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，得到∠DAB為直角，再由垂直的定義得到兩個(gè)角為直角，利用三個(gè)角為直角的四邊形是矩形得到AOPE為矩形，利用矩形的四個(gè)角為直角得到∠EPO為直角，對(duì)邊相等得到AE=PO，根據(jù)DP=AP，PE垂直于AD，利用三線合一得到EA=PO=

1

2

a，進(jìn)而確定出PO為圓的半徑，直線PE與半圓相切．

解答：解：（1）連接PB，如圖所示，

∵AB為半圓的直徑，
∴∠APB=90°，
在Rt△ABP中，AB=5，∠PAB=37°，
∴cos∠PAB=

AP

AB

，即cos37°=0.8=

AP

5

，
∴AP=4；

（2）PE為半圓的切線，理由為：

過P作PO⊥AB，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵PE⊥PA，PO⊥AB，
∴∠PEA=∠POA=90°，
∴四邊形EAOP是矩形，
∴EA=PO，∠EPO=90°，
∵DP=AP，PE⊥DA，
∴EA=

1

2

DA=

1

2

a，
∴PO=

1

2

a，PO為半圓的半徑，
∴PE為半圓的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，矩形、正方形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．