Question

【題目】已知如圖，三點(diǎn)在同一直線上，.

（1）已知點(diǎn)在直線上，根據(jù)條件，請(qǐng)補(bǔ)充完整圖形，并求的長(zhǎng)；

（2）已知點(diǎn)在直線上，分別是，的中點(diǎn)，根據(jù)條件，請(qǐng)補(bǔ)充完整圖形，并求的長(zhǎng)，直接寫出與的長(zhǎng)存在的數(shù)量關(guān)系；

（3）已知點(diǎn)在直線上，分別是，的中點(diǎn)，根據(jù)條件，請(qǐng)補(bǔ)充完整圖形，并求的長(zhǎng)，直接寫出與的長(zhǎng)存在的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；AC=4或8；（2）圖見(jiàn)解析；MN=2或4；MN=；（3）MN=3；MN=.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)C的位置有兩種情況分類討論，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，易求此時(shí)AC的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，易求此時(shí)AC的長(zhǎng)；

（2）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)的定義，可得：MB=，NB=，從而求出MN與AC的長(zhǎng)度關(guān)系，再根據(jù)（1）中此時(shí)AC的長(zhǎng)，即可求出MN的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，原理同上；

（3）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)的定義，可得：MC=，CN=，從而求出MN與AB的長(zhǎng)度關(guān)系，即可求出MN；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，原理同上.

解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)C的位置有兩種情況

①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，補(bǔ)全圖形如下所示

∵，

∴AC=AB－BC=4；

②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，補(bǔ)全圖形如下所示

∵，

∴AC=AB＋BC=8.

綜上所述：AC=4或8；

（2）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，補(bǔ)全圖形如下所示

∵分別是，的中點(diǎn)，

∴MB=，NB=

∴MN=MB－NB=－===

由（1）可知：此時(shí)AC=4

∴MN==2；

②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，補(bǔ)全圖形如下所示

∵分別是，的中點(diǎn)，

∴MB=，NB=

∴MN=MB+NB=+===

由（1）可知：此時(shí)AC=8

∴MN==4；

綜上所述：MN=2或4；MN=；

（3）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，補(bǔ)全圖形如下所示

∵分別是，的中點(diǎn)，

∴MC=，CN=

∴MN=MC+ CN =+====3；

②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，補(bǔ)全圖形如下所示

∵分別是，的中點(diǎn)，

∴MC=，CN=

∴MN=MC－ CN =－====3；

綜上所述：MN=3；MN=.