Question

（2013•湖北）如圖，已知拋物線y=ax²+bx-4經(jīng)過A（-8，0），B（2，0）兩點，直線x=-4交x軸于點C，交拋物線于點D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，點E在直線x=-4上，若以A，O，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
（3）若B，D，C三點到同一條直線的距離分別是d₁，d₂，d₃，問是否存在直線l，使d₁=d₂=

d3

2

？若存在，請直接寫出d₃的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類討論：
①以AO為一邊的平行四邊形，有2個；
②以AO為對角線的平行四邊形，有1個，此時點P和點E必關(guān)于點C成中心對稱．
（3）存在4條符合條件的直線，分別如答圖2、答圖3所示．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4經(jīng)過A（-8，0），B（2，0）兩點，
∴

64a-8b-4=0 4a+2b-4=0

，
解得：

a= 1 4 b= 3 2 .

∴y=

1

4

x2+

3

2

x-4； 

（2）∵點P在拋物線上，點E在直線x=-4上，
設(shè)點P的坐標為（m，

1

4

m2+

3

2

m-4)，點E的坐標為（-4，n）．

如圖1，∵點A（-8，0），
∴AO=8．
①當AO為一邊時，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=-12，m₂=4．
∴P₁（-12，14），P₂（4，6）（5分）
②當AO為對角線時，則點P和點E必關(guān)于點C成中心對稱，故CE=CP．
∴

m=-4 1 4 m2+ 3 2 m-4=-n

，
解得：

m=-4 n=6

，
∴P₃ （-4，-6）．
∴當P₁（-12，14），P₂（4，6），P₃ （-4，-6）時，A，O，E，P為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）存在．
如圖2所示，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H．

由題意得C（-4，0），B（2，0），D（-4，-6），
∴OC=4，OB=2，CD=6，∴△CDB為等腰直角三角形．
∴CH=CD•sin45°=6×

2

2

=3

2

．
∵BD=2CH，∴BD=6

2

．
①∵CO：OB=2：1，∴過點O且平行于BD的直線l₁滿足條件．
作BE⊥直線l₁于點E，DF⊥直線l₁于點F，設(shè)CH交直線l₁于點G．
∴BE=DF，即：d₁=d₂．
則

CG

BE

=

CO

BO

=

2

1

，

CG

GH

=

2

1

，即

d3

d1

=

2

1

，∴d₃=2d₁，∴d₁=d₂=

d3

2

．
∴CG=

2

3

CH，即d₃=

2

3

×3

2

=2

2

；
②如圖2，在△CDB外作直線l₂∥DB，延長CH交l₂于點G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=6

2

；
③如圖3，過H，O作直線l₃，作BE⊥l₃于點E，DF⊥l₃于點F，CG⊥l₃于點G．

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴d₁=d₂=

d3

2

．
作HI⊥x軸于點I，
∴HI=CI=

1

2

CB=3，∴OI=4-3=1，
∴OH=

HI2+OI2

=

32+12

=

10

．
∵△OCH的面積=

1

2

×4×3=

1

2

10

×d₃，∴d₃=

6 10

5

；
④如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的對稱性，可作出直線l₄，易證：
d₁=d₂=

d3

2

，d₃=

6 10

5

．
綜上所述，存在直線l，使d₁=d₂=

d3

2

．d₃的值為：2

2

，6

2

，

6

5

10

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形、相似三角形、勾股定理等知識點，難度較大．第（2）問考查平行四邊形的判定及分類討論的數(shù)學思想，第（3）問是存在型問題，存在4條符合條件的直線，需要分類討論，避免漏解．