Question

【題目】給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax2+bx+1．

（1）當(dāng)b=1時(shí)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中A為C的頂點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求a的值；
（2）若把直線l向上平移k2+1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l′，則無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線l′與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．
①求此拋物線的解析式；
②若P是此拋物線上任一點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求證：OP=PQ．

Answer 1

【答案】
（1）

∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，當(dāng)b=1時(shí)有A，B兩交點(diǎn)，

∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．

∵B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴0=xA+xB= ，

∴k=1．

∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，

∴頂點(diǎn)（﹣ ，1﹣ ）在y=x上，

∴﹣ =1﹣ ，

解得 a=﹣ ．

（2）

①解：∵無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線l′與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴k=1時(shí)，k=2時(shí)，直線l′與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)k=1時(shí)，l′：y=x+2，

∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，

∵△=（b﹣1）2+4a=0，

∴（b﹣1）2+4a=0，

當(dāng)k=2時(shí)，l′：y=2x+5，

∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，

∵△=（b﹣2）2+16a=0，

∴（b﹣2）2+16a=0，

∴聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組 ，

解得 或 ．

∵l′：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，

∴△=（b﹣k）2+4ak2．

當(dāng) 時(shí)，△=（﹣k）2+4×（﹣ ）k2=k2﹣k2=0，故無(wú)論k取何值，直線l′與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng) 時(shí)，△=（ ﹣k）2+4×（﹣ ）k2= k2﹣ k+ ，顯然雖k值的變化，△不恒為0，所以不合題意舍去．

∴C：y=﹣ x2+1．

②證明：根據(jù)題意，畫(huà)出圖象如圖1，

由P在拋物線y=﹣ x2+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，﹣ x2+1），連接OP，過(guò)P作PQ⊥直線y=2于Q，作PD⊥x軸于D，

∵PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，

∴OP= = = = x2+1，

PQ=2﹣yP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1，

∴OP=PQ．

【解析】（1）直線與拋物線的交點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即橫縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，即相加為零，這很適用于韋達(dá)定理．由其中有涉及頂點(diǎn)，考慮頂點(diǎn)式易得a值．（2）①直線l：y=kx向上平移k2+1，得直線l′：y=kx+k2+1．根據(jù)無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線l′與拋物線C：y=ax2+bx+1都只有一個(gè)交點(diǎn)，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△=（b﹣k）2+4ak2=0．這雖然是個(gè)方程，但無(wú)法求解．這里可以考慮一個(gè)數(shù)學(xué)技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最簡(jiǎn)單的1，2肯定是成立的，所以可以代入試驗(yàn)，進(jìn)而可求得關(guān)于a，b的方程組，則a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能滿足k=1，2時(shí)，并不滿足任意實(shí)數(shù)k，所以可以再代回△=（b﹣k）2+4ak2中，若不能使其結(jié)果為0，則應(yīng)舍去．
②求證OP=PQ，那么首先應(yīng)畫(huà)出大致的示意圖．發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP，PQ的值，再進(jìn)行比較．這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y=﹣ x2+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，﹣ x2+1），進(jìn)而易求OP，PQ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�