Question

為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=﹣10x+500．
（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？
（2）設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？

Answer 1

（1）600；（2）30；（3）500.

解析試題分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)；
（2）由利潤(rùn)=銷售價(jià)﹣成本價(jià)，得，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)；
（3）令﹣10x²+600x﹣5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤(rùn)的范圍，然后設(shè)設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值.
試題解析：（1）當(dāng)x=20時(shí)，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600，
∴政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元.
（2）依題意得，，
∵a=﹣10＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值4000.
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)4000．
（3）由題意得：﹣10x²+600x﹣5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40。
∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，
∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，w≥3000.
又∵x≤25，∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，w≥3000.
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，
∴.
∵k=﹣20＜0，∴p隨x的增大而減小.∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500.
∴銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元.

考點(diǎn)：二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用.