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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),BC=nDC,AD⊥EC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BE交AC與點(diǎn)F.
          (1)若n=3,則
          CE
          DE
          =
           
          ,
          AE
          DE
          =
           
          ;
          (2)若n=2,求證:AF=2FC;
          (3)當(dāng)n=
           
          ,F(xiàn)為AC的中點(diǎn)(直接填出結(jié)果,不要求證明).
          分析:(1)通過證明△CED∽△ACD,根據(jù)相似比即可求得CE:DE的長(zhǎng),同理可求得AE:DE的值.
          (2)根據(jù)已知可求得△GED∽△AFE,根據(jù)相似比即可求得AF,F(xiàn)C的關(guān)系.
          (3)要使AF=CF,必需n2=(n-1):n.
          解答:(1)由題意得,∠DEC=∠DCA=90°,∠EDC=∠CDA,
          ∴△CED∽△ACD.
          ∴CE:DE=AC:CD.
          ∵AC=BC,
          ∴AC:CD=n=3.
          ∴CE:DE=3.
          同理可得:AE:DE=9.

          (2)如圖,當(dāng)n=2時(shí),D為BC的中點(diǎn),取BF的中點(diǎn)G,連接DG,
          則DG=
          1
          2
          FC,DG∥FC.
          ∵CE⊥AD,∠ACB=90°,
          ∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°.
          ∴∠ECD=∠CAD.
          ∵tan∠ECD=
          ED
          EC
          ,tan∠CAD=
          DC
          AC
          =
          EC
          EA
          ,
          ED
          EC
          =
          EC
          EA
          =
          DC
          AC

          ∵AC=BC,BC=2DC,
          ED
          EC
          =
          EC
          EA
          =
          DC
          AC
          =
          1
          2

          ED
          AE
          =
          1
          4

          ∵DG∥FA,
          ∴△GDE∽△FAE.
          DG
          FA
          =
          DE
          AE

          ∴DG=
          1
          4
          AF.
          ∵DG=
          1
          2
          FC,精英家教網(wǎng)
          ∴AF=2FC.

          (3)如圖,∵BC=nDC,
          ∴DC:BC=1:n,
          ∴DC:AC=1:n,
          ∴DE:CE:AE=1:n:n2;
          ∴DG:AF=1:n2;
          又∵DG:CF=DB:BC=(BC-CD):BC=(n-1):n
          要使AF=CF,必需n2=n:(n-1),(n>0)
          ∴當(dāng)n=
          1+
          5
          2
          ,F(xiàn)為AC的中點(diǎn).
          點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形得出線段之間的比例關(guān)系,進(jìn)而得出所求線段與n之間的關(guān)系.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2)求AE的長(zhǎng).

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          2
          ,AD長(zhǎng)為2,第3個(gè)等腰直角三角形斜邊AE長(zhǎng)=
          2
          2
          2
          2
          ,第4個(gè)等腰三角形斜邊AF長(zhǎng)=
          4
          4
          ,則第n個(gè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)=
          2
          n
          2
          n

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