Question

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)BP交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證：△APB≌△APD；
(2)已知DF∶FA＝1∶2，設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，線段PF的長(zhǎng)為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x＝6時(shí)，求線段FG的長(zhǎng).

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（1）；5.

解析試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進(jìn)而得出，，進(jìn)而得出，即，即可得出答案；
②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進(jìn)而得出，求出即可．
試題解析：（1）證明：∵點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴GD∥AB，
∴，
∵DF：FA=1：2，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②當(dāng)x=6時(shí)，，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵，
∴，
解得：FG=5，
故線段FG的長(zhǎng)為5．
考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.菱形的性質(zhì)．