Question

先閱讀下面的材料再完成下列各題
我們知道，若二次函數(shù)y=ax²+bx+c對任意的實(shí)數(shù)x都有y≥0，則必有a＞0，△=b²-4ac≤0；例如y=x²+2x+1=（x+1）²≥0，則△=b²-4ac=0，y=x²+2x+2=（x+1）²+1＞0，則△=b²-4ac＜0．
（1）求證：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²
（2）若x+2y+3z=6，求x²+y²+z²的最小值；
（3）若2x²+y²+z²=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x²+y²+z²取最小值時，x，y，z的值（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）首先構(gòu)造二次函數(shù)：f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²），由（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，整理即可證得：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²；
（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²，又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；
（3）利用（1）可得：（2x²+y²+z²）（

1

2

+1+1）≥（x+y+z）²，又由2x²+y²+z²=2，整理求解即可求得答案；
（4）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)

a1

b1

=

a2

b2

=…=

an

bn

時等號成立，即可得當(dāng)且僅當(dāng)x=

y

2

=

z

3

時，x²+y²+z²取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．

解答：解：（1）構(gòu)造二次函數(shù)：f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥0，
∴△=4（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，
即：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²，
當(dāng)且僅當(dāng)

a1

b1

=

a2

b2

=…=

an

bn

時等號成立；

（2）根據(jù)（1）可得：（1+4+9）（x²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²，
∵x+2y+3z=6，
∴14（x²+y²+z²）≥36，
∴x²+y²+z²≥

18

7

；
∴若x+2y+3z=6，則x²+y²+z²的最小值為

18

7

；

（3）根據(jù)（1）可得：（2x²+y²+z²）（

1

2

+1+1）≥（x+y+z）²，
∵2x²+y²+z²=2，
∴（x+y+z）²≤2×

5

2

=5，
∴-

5

≤x+y+z≤

5

，
∴若2x²+y²+z²=2，則x+y+z的最大值為

5

；

（4）∵當(dāng)且僅當(dāng)x=

y

2

=

z

3

時，x²+y²+z²取最小值，
設(shè)x=

y

2

=

z

3

=k，
則x=k，y=2k，z=3k，
∵x+2y+3z=6，
∴k+4k+9k=6，
解得：k=

3

7

，
∴當(dāng)x²+y²+z²取最小值時，x=

3

7

，y=

6

7

，z=

9

7

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²），然后利用判別式求解．