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        1. 【題目】如圖,己知拋物線y=kx+1)(x﹣3k)(且k0)與x軸分別交于A、B兩點,A點在B點左邊,與Y軸交于C點,連接BC,過A點作AECB交拋物線于E點,0為坐標原點.

          1)用k表示點C的坐標(0, );

          2)若k=1,連接BE,

          求出點E的坐標;

          x軸上找點P,使以P、BC為頂點的三角形與ABE相似,求出P點坐標;

          3)若在直線AE上存在唯一的一點Q,連接OQ、BQ,使OQBQ,求k的值.

          【答案】1﹣3k2;245);,0)或(,0);3k=

          【解析】

          試題分析:1)只需把x=0代入拋物線的解析式,就可求出點C的坐標;

          2只需先求出直線AE的解析式,再求出直線AE與拋物線的交點坐標,就可解決問題;AEBC可得EAB=ABC,然后分PBC∽△BAEPBC∽△EAB兩種情況進行討論,運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

          3)由OQBQ可知點Q在以OB為直徑的圓上,由于直線AE上存在唯一的一點Q,使得OQBQ,因此以OB為直徑的圓與直線AE相切,切點為Q,圓心記為O′,連接O′Q,如圖2,易證AQO′∽△BOC,然后只需用k的代數(shù)式表示OC、QO′、AO′、BC,再運用相似三角形的性質(zhì)就可求出k的值.

          解:(1)當x=0時,y=k0+1)(0﹣3k=﹣3k2,

          C的坐標為(0﹣3k2).

          故答案為:﹣3k2;

          2k=1,

          拋物線的解析式為y=x+1)(x﹣3).

          x=0時,y=﹣3,則點C0,﹣3),OC=3;

          y=0時,x1=﹣1,x2=3,

          則點A﹣1,0),點B3,0),OA=1,OB=3

          AECB,∴△AODBOC,

          =

          OD=1,即D0,1).

          設直線AE的解析式為y=kx+b

          ,

          解得:

          直線AE的解析式為y=x+1,

          聯(lián)立

          解得:,

          E的坐標為(45);

          過點EEHx軸于H,如圖1,

          OH=4BH=5,AH=5,AE==5

          AEBC∴∠EAB=ABC

          .若PBC∽△BAE,則=

          AB=4BC==3,AE=5

          =,

          BP=

          P的坐標為(3﹣,0)即(,0);

          .若PBC∽△EAB,則=,

          =,

          BP=

          P的坐標為(3﹣,0)即(,0);

          綜上所述:滿足條件的P點坐標為(,0)或(,0);

          3直線AE上存在唯一的一點Q,使得OQBQ

          OB為直徑的圓與直線AE相切于點Q,圓心記為O′,連接O′Q,如圖2,

          則有O′QAE,O′Q=OO′=OB

          x=0時,y=k0+1)(0﹣3k=﹣3k2,則點C0,﹣3k2),

          y=0時,kx+1)(x﹣3k=0,解得x1=﹣1x2=3k,

          則點A﹣1,0),B3k,0),

          OB=3k,OA=1,OC=3k2,

          O′Q=OO′=,O′A=+1,BC==3k

          ∵∠QAO′=OBC,AQO′=BOC=90°,

          ∴△AQO′∽△BOC,

          =,

          QO′BC=AO′OC,

          3k=+13k2

          解得:k=

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