Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB為4，C為⊙O上一個定點，∠ABC=30°，動點P從A點出發(fā)沿半圓弧 向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側)，當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.

（1）求證：△ABC∽△PDC
（2）如圖2，當點P到達B點時，求CD的長；

（3）設CD的長為 .在點P的運動過程中， 的取值范圍為（請直接寫出案）.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

又∵∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC

（2）解：∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BC= ，

∵△ABC∽△PDC，

∴∠D=∠ABC=30°，

∴CD=6

（3）解：如圖，

∵AB是直徑，∠ABC=30°，AB=4

∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，

∵CD⊥PC，

∴∠PCD=90°，CD=PCtan60°，

∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值為直徑=4，

∴CD的最小值為2 ，最大值為4 ，

∴2 ≤CD≤4

【解析】（1）利用圓周角定理，進而用"兩角法"證出相似；（2）利用30度角的正切，由AB求出BC，再求出CD；（3）可用PC及三角函數表示出CD，當PC最小時，CD最小，CD最大，PC最大.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．