Question

【題目】在等邊△ABC所在平面內(nèi)找出一個(gè)點(diǎn)，使它與三角形中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所組成的三角形都是等腰三角形。這樣的點(diǎn)一共有（ ）

A. 1個(gè) B. 4個(gè) C. 7個(gè) D. 10個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

在等邊△ABC中，三條邊上的高交于點(diǎn)O，

由于等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，三條高所在的直線(xiàn)也是對(duì)稱(chēng)軸，也是邊的中垂線(xiàn)，點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，則點(diǎn)O是滿(mǎn)足題中要求的點(diǎn)，

高與頂角的兩條邊成的銳角為30°，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑，做圓，延長(zhǎng)AO交圓于點(diǎn)E，

由于點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，點(diǎn)E也是滿(mǎn)足題中要求的點(diǎn)，

作AD⊥AB交圓于點(diǎn)D，則有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，點(diǎn)D也是滿(mǎn)足題中要求的點(diǎn)，同理，作AF⊥AC交圓于點(diǎn)F，則點(diǎn)F也是滿(mǎn)足題中要求的點(diǎn)；

同理，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑，做圓，

以點(diǎn)C為圓心，AB為半徑，做圓，都可以分別得到同樣性質(zhì)的三個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足題中要求，

于是共有10個(gè)點(diǎn)能使點(diǎn)與三角形中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所組成的三角形都是等腰三角形．

故選D．