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        1. (2013•玄武區(qū)二模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.動點P從點A開始沿折線AC-CB-BA運動,點P在AC,CB,BA邊上運動,速度分別為每秒3,4,5個單位.直線l從與AC重合的位置開始,以每秒
          43
          個單位的速度沿CB方向平行移動,即移動過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點,點P與直線l同時出發(fā),設運動的時間為t秒,當點P第一次回到點A時,點P和直線l同時停止運動.
          (1)當t=5秒時,點P走過的路徑長為
          19
          19
          ;當t=
          3
          3
          秒時,點P與點E重合;
          (2)當點P在AC邊上運動時,將△PEF繞點E逆時針旋轉,使得點P的對應點M落在EF上,點F的對應點記為點N,當EN⊥AB時,求t的值;
          (3)當點P在折線AC-CB-BA上運動時,作點P關于直線EF的對稱點,記為點Q.在點P與直線l運動的過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,請直接寫出t的值.
          分析:(1)由條件可以求出AB=10,根據(jù)P點在各邊的速度可以求出在各邊所用的時間,從而可以求出P在5秒內(nèi)走的路程,根據(jù)CE=P走的路程-AC建立方程就可以求出其值;
          (2)如圖,由點P的對應點M落在EF上,點F的對應點為點N,可知∠PEF=∠MEN,由EF∥AC,∠C=90°可以得出∠CPE=∠PEF,又由EN⊥AB,就有∠B=∠MEN.可以得出∠CPE=∠B.最后利用三角函數(shù)的關系建立方程求出其解就可以了;
          (3)根據(jù)菱形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分兩種情況當P點在AC上時和當P在AB上時可以分別求出t的值.
          解答:解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.
          由勾股定理,得AB=10,
          ∵點P在AC,CB,BA邊上運動,速度分別為每秒3,4,5個單位,
          ∴點P在AC邊上運動的時間為:6÷3=2秒,
          點P在BC邊上運動的時間為:8÷4=2秒,
          ∴點P在AB邊上運動的時間為:5-2-2=1秒,
          ∴P點在AB邊上運動的距離為:5×1=5,
          ∴當t=5秒時,點P走過的路徑長為 19;
          由題意可知,當(t-2)×4=
          4
          3
          t時,點P與點E重合.
          解得:t=3,
          ∴t=3秒時,點P與點E重合.
          故答案為:19,3;

          (2)如圖,由點P的對應點M落在EF上,點F的對應點為點N,可知∠PEF=∠MEN,
          ∵P在AC上,
          ∴AP=3t (0<t≤2),
          ∴CP=6-3t,CE=
          4
          3
          t

          ∵EF∥AC,∠C=90°,
          ∴∠BEF=90°,∠CPE=∠PEF.
          ∵EN⊥AB,
          ∴∠B=∠MEN.
          ∵∠PEF=∠FEN,
          ∴∠CPE=∠B.
          tan∠CPE=
          CE
          CP
          tanB=
          AC
          BC
          =
          3
          4
          ,
          CP=
          4
          3
          CE

          ∴CP=
          4
          3
          ×
          4
          3
          t
          =
          16
          9
          t
          6-3t=
          16
          9
          t

          解得:t=
          54
          43


          (3)如圖1,當P點在AC上時,(0<t≤2)
          ∴AP=3t,PC=6-3t,EC=
          4
          3
          t,
          ∴BE=8-
          4
          3
          t,
          ∵EF∥AC,
          ∴△FEB∽△ACB,
          EF
          AC
          =
          BE
          BC
          ,
          EF
          6
          =
          8-
          4
          3
          t
          8
          ,
          ∴EF=6-t.
          ∵四邊形PEQF是菱形,
          ∴∠POE=90°,OE=
          1
          2
          EF=3-
          1
          2
          t,
          ∵EF∥AC,∠C=90°,
          ∴∠OEC=90°,
          ∴四邊形PCEO是矩形,
          ∴OE=PC.
          ∴3-
          1
          2
          t=6-3t,
          ∴t=
          6
          5

          如圖2,當P在AB上時(4<t<6),
          ∵四邊形PFQE是菱形,
          ∴PE=PF,
          ∴∠PFE=∠PEF,
          ∵EF∥AC,∠C=90°,
          ∴∠FEB=∠FEP+∠PEB=90°,
          ∴∠B+∠EFB=90°,
          ∴∠B+∠FEP=90°,
          ∴∠PEB=∠B,
          ∴PE=PB.
          ∵PB=5(t-4),
          ∴BF=10(t-4),
          ∵sin∠B=
          3
          5
          =
          EF
          BF

          EF
          10(t-4)
          =
          3
          5
          ,
          ∴EF=6t-24
          ∵CE=
          4
          3
          t,
          ∴BE=8-
          4
          3
          t,
          ∵△FEB∽△ACB,
          EF
          AC
          =
          BE
          BC
          ,
          EF
          6
          =
          8-
          4
          3
          t
          8
          ,
          ∴EF=6-t.
          ∴6-t=6t-24
          解得t=
          30
          7

          ∴t的值為
          6
          5
          (秒)或
          30
          7
          (秒).
          點評:本題考查了勾股定理的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,菱形的性質(zhì)的運用,三角函數(shù)值的運用及分類討論思想的運用,解答本題時利用相似三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是關鍵.
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