Question

【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖為她們剌繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成的，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，研究發(fā)現(xiàn)第個圖案中共有個；小正方形．(為整數(shù)，且)

（1）請寫出第個圖案中有____個小正方形；

（2）猜想第個圖案和第個圖案中小正方形個數(shù)之差為

（3）證明（2）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）41；（2）4n；（3）見解析．

【解析】

（1）首先觀察給出的四個圖，可以得出正方體的個數(shù)分別為，，，總結一般性的規(guī)律，將一般性數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解．
（2）根據(jù)（1）得出的一般規(guī)律，可寫出第個圖案中正方形的個數(shù)，再與第個圖案中正方形的個數(shù)做差即可得解．
（3）利用數(shù)列的求和公式可得第個圖案中正方形的個數(shù)是：，利用此規(guī)律可寫出第個圖案中正方形的個數(shù)是，再讓它們做差即可得證．

（1）∵第一個圖案中正方形的個數(shù)是：

第二個圖案中正方形的個數(shù)是：

第三個圖案中正方形的個數(shù)是：

第四個圖案中正方形的個數(shù)是：

第個圖案中正方形的個數(shù)是：

∴第五個圖案中正方形的個數(shù)是：

故答案是：

（2）∵由（1）可知第個圖案中正方形的個數(shù)是：

第個圖案中正方形的個數(shù)是：

∴第個圖案和第個圖案中小正方形個數(shù)之差為

∴第個圖案和第個圖案中小正方形個數(shù)之差為

故答案是：

（3）證明：根據(jù)題意，得第個圖案中正方形的個數(shù)為

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第個圖案和第個圖案中正方形個數(shù)之差為