Question

【題目】如圖，在矩形中，為對角線，點為邊上一動點，連結，過點作，垂足為，連結．

(1)證明：；

(2)當點為的中點時，若，求的度數(shù)；

(3)當點運動到與點重合時，延長交于點，若，則　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）53°;(3)

【解析】

（1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似即可判斷．

（2）只要證明△CPQ∽△APC，可得∠PQC=∠ACP即可解決問題．

（3）連接AF．與Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），推出DF=QF，設AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，證明△BCQ∽△CFQ，可得，推出，即，由CF∥AB，可得，推出，可得，推出x2+xy-y2=0，解得x=y或（舍棄），由此即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABP=90°，

∵BQ⊥AP，

∴∠BQP=∠ABP=90°，

∵∠BPQ=∠APB，

∴△ABP∽△BQP．

（2）解：∵△ABP∽△BQP，

∴

∴PB2=PQPA，

∵PB=PC，

∴PC2=PQPA，

∴

∵∠CPQ=∠APC，

∴△CPQ∽△APC，

∴∠PQC=∠ACP，

∵∠BAC=37°，

∴∠ACB=90°-37°=53°，

∴∠CQP=53°．

（3）解：連接AF．

∵∠D=∠AQF=90°，AF=AF，AD=AQ，

∴Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），

∴DF=QF，設AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，

∵∠BCF=∠CQB=∠CQF=90°，

∴∠BCQ+∠FCQ=90°，∠CBQ=90°，

∴∠FCQ=∠CBQ，

∴△BCQ∽△CFQ，

∴，

∴

∴，

∵CF∥AB，

∴，

∴

∴

∴x2+xy-y2=0，

∴ x=y或（舍棄），

∴

∴.

故答案為：.