Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．

（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．

∴BC=AC．

∴BC=5．

∵BC∥AO，BC=5，OC=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4）．

∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴ 解得：

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：如圖2，

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直線AB上，

∴ 解得：

∴直線AB的解析式為y= x+ ．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（﹣3≤t≤5），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也為t．

∴yP= t+ ，yQ=﹣ t2+ t+4．

∴PQ=yQ﹣yP=﹣ t2+ t+4﹣（ t+ ）

=﹣ t2+ t+4﹣ t﹣

=﹣ t2+ +

=﹣ （t2﹣2t﹣15）

=﹣ [（t﹣1）2﹣16]

=﹣ （t﹣1）2+ ．

∵﹣ ＜0，﹣3≤t≤5，

∴當(dāng)t=1時(shí)，PQ取到最大值，最大值為 ．

∴線段PQ的最大值為 ．

（3）

解：①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖3所示．

拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ = ．

∴xH=xG=xM= ．

∴yG= × + = ．

∴GH= ．

∵∠GHA=∠GAM=90°，

∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．

∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．

∴ ．

∴ = ．

解得：MH=11．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，﹣11）．

②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣ = ，DG=4﹣ = ，

∴BG=

=

= ．

同理：AG= ．

∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．

∴ = ．

∴ = ．

解得：MG= ．

∴MH=MG+GH

= +

=9．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，9）．

綜上所述：符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，9）和（ ，﹣11）．

【解析】（1）如圖1，易證BC=AC，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．（2）如圖2，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，從而可以用t的代數(shù)式表示出PQ的長，然后利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)就可解決問題．（3）由于AB為直角邊，分別以∠BAM=90°（如圖3）和∠ABM=90°（如圖4）進(jìn)行討論，通過三角形相似建立等量關(guān)系，就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．