Question

已知⊙的半徑為1，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．有一個(gè)正方形，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），頂點(diǎn)在軸上方，頂點(diǎn)在⊙上運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)、在一條直線上時(shí)，與⊙相切嗎？如果相切，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不相切，也請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，正方形的面積為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）CD與⊙O相切 （2），S的最大值為，S的最小值為

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)锳、D、O在一直線上，，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切線 

CD與⊙O相切時(shí)，有兩種情況：

① 點(diǎn)在第二象限時(shí)（如圖①），

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，

則，

解得，或（舍去）

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB于E，則Rt△ODE≌Rt△OBA，

所以，

所以DE=，OE=，

所以點(diǎn)D₁的坐標(biāo)是（-，）

所以O(shè)D所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 

②切點(diǎn)在第四象限時(shí)（如圖②），

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為b，則，

解得（舍去），或 

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽R(shí)t△OBA，

所以，

所以O(shè)F=，DF=，

所以點(diǎn)D₂的坐標(biāo)是（，-）        

所以O(shè)D所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，

則

= 

所以 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2013051008184533424396/SYS201305100819138342548961_DA.files/image024.png">，所以S的最大值為，

S的最小值為

考點(diǎn)：函數(shù)圖象與幾何的結(jié)合

點(diǎn)評(píng)：作為試卷的壓軸題，難度一般都不小，此類題目，只能通過(guò)多做多練，尋找其中的規(guī)律