Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx-3交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=kx+3過(guò)點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值；

（3）在直線上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3； （2）線段HG的長(zhǎng)度有最大值； （3）當(dāng)N的坐標(biāo)為（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）時(shí)，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出的值；
（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，然后結(jié)合圖形設(shè)出K點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)出H點(diǎn)和G點(diǎn)的坐標(biāo)，列出HG關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）需要討論解決，①若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n-3，然后根據(jù)已知條件在求n的坐標(biāo)就容易了
②若線段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為過(guò)P點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)N，結(jié)合已知條件再求n的坐標(biāo)就容易了．

試題解析：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x1)(x+3).

∵拋物線交y軸于點(diǎn)E(0,3)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得a=1,

∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=(x1)(x+3)，

即

(2)∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)(3,0),點(diǎn)B坐標(biāo)(1,0)，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)(5,0)，

∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入得

∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為

設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,0),則H點(diǎn)的坐標(biāo)為G點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí),線段HG的長(zhǎng)度有最大值

(3)∵點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)C(5,0)，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0)，

∵直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行，

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3，

∵點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,m),點(diǎn)N的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(5,0)，

∴AC=8，

分情況討論：

①若線段AC是以點(diǎn)A.C,M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊,則需MNAC，且MN=AC=8.

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3n，

∴3n=8，解得n=5，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,12)，

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n3，

∴n3=8，

解得n=11，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(11,140)，

②若線段AC是以點(diǎn)A.C,M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線,由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱,取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)P,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

過(guò)P點(diǎn)作NP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，

將x=1代入，得y=4，

過(guò)點(diǎn)N作直線NM交直線l于點(diǎn)M，

在△BPN和△BFM中，

∠NBP=∠MBF，

BF=BP，

∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，

∴四邊形ANCM為平行四邊形，

∴坐標(biāo)(1,4)的點(diǎn)N符合條件，

∴當(dāng)N的坐標(biāo)為(5,12),(11,140),(1,4)時(shí)，以點(diǎn)A. C.M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.