Question

如圖，矩形OABC的邊OC，OA分別與x軸，y軸重合，點B的坐標是（

3

，1），點D是AB邊上一個動點（與點A不重合），沿OD將△OAD翻折，點A落在點P處．
（1）若點P在一次函數y=2x-1的圖象上，求點P的坐標；
（2）若點P在拋物線y=ax²圖象上，并滿足△PCB是等腰三角形，求該拋物線解析式；
（3）當線段OD與PC所在直線垂直時，在PC所在直線上作出一點M，使DM+BM最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據B（

3

，1），可知BC=OA=OP=1，OC=

3

．設P（x，2x-1），過P作PH⊥x軸于H．利用x分別表示出PH、OH、又OP=1，根據勾股定理即可解答；
（2）連接PB，PC．①若PB=PC，設P（x，

1

2

），過P作PH⊥x軸于H．
在Rt△OPH中根據勾股定理解得x，從而確定P點坐標，進而求出解析式．
②若BP=BC，則BP=1，連接OB．在Rt△OBC中根據勾股定理求出OB，從而得出P為線段OB中點，求出P點坐標，進而求解析式．
③若CP=CB，則CP=1，PO=PC，則P在OC中垂線x=

3

2

上．設P（

3

2

，y）．過P作PH⊥x軸于H．在Rt△OPH中根據勾股定理求出P點坐標，從而確定解析式．
（3）根據求最小值的解法，找對稱點，構建直角三角形，利用勾股定理解答即可．

解答：解：（1）∵B（

3

，1）
∴BC=OA=OP=1，OC=

3

．
∵點P在一次函數y=2x-1的圖象上
∴設P（x，2x-1）
如圖，過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x²+（2x-1）²=1
解得：x₁=

4

5

，x₂=0（不合題意，舍去）
∴P（

4

5

，

3

5

）（2分）

（2）連接PB，PC
①若PB=PC，則P在BC中垂線y=

1

2

上
∴設P（x，

1

2

），如圖，過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中，PH=

1

2

，OH=x，OP=1
∴x²+

1

4

=1
解得：x₁=

3

2

，x₂=-

3

2

（不合題意，舍去）
∴P（

3

2

，

1

2

）
∴

1

2

=a×

3

4

，
得a=

2

3

∴y=

2

3

x²（2分）
②若BP=BC，則BP=1，連接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=

3+1

=2
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三點共線，P為線段OB中點．
又∵B（

3

，1）
∴P（

3

2

，

1

2

）
∴

1

2

=a×

3

4

，
解得：a=

2

3

∴y=

2

3

x²
③若CP=CB，則CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，則P在OC中垂線x=

3

2

上
∴設P（

3

2

，y）．
過P作PH⊥x軸于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=

3

2

，OP=1
∴y²+

3

4

=1
解得：y₁=

1

2

，y₂=-

1

2

∴P（

3

2

，

1

2

）或（

3

2

，-

1

2

）
當點P（

3

2

，-

1

2

）時，∠AOP=120°，此時∠AOD=60°，點D與點B重合，符合題意．
若點P（

3

2

，

1

2

），則

1

2

=a×

3

4

，解得：a=

2

3

．∴y=

2

3

x²
若點P（

3

2

，-

1

2

），則-

1

2

=a×

3

4

，解得：a=-

2

3

∴y=-

2

3

x²（2分）

（3）如圖，∵△OAD沿OD翻折，點A落在點P處
∴OD垂直平分AP
∵PC⊥OD
∴A，P，C三點共線．
在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1
又可得：∠AOD=30°
∴AD=AO•tan30°=

3

3

，
∴D（

3

3

，1）
作點B關于直線AC的對稱點B′，過點B′作B′N⊥AB于點N，連接DB′，DB′與AC交點為M，此點為所求點．
∵∠ACB′=∠ACB=60°，∠ACO=30°
∴∠B′CO=30°
∵B′C=BC=1
∴B′（

3

2

，-

1

2

），
∴N（

3

2

，1）
在Rt△B′ND中，∠B′ND=90°，B′N=

3

2

，DN=AN-AD=

3

2

-

3

3

=

3

6

∴DB′=

DN2+B′N2

=

21

3

∴DM+BM的最小值為

21

3

．（2分）

點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和軸對稱中的最小值問題，函數圖象上點的意義，等腰三角形的性質等．要熟練掌握才能靈活運用．