Question

（2013•山西模擬）問題背景  某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下命題：
①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN．
②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．
然后運用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．

任務(wù)要求
（1）請你對命題③進行證明；
（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：如圖4，在五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，當(dāng)∠BON=108°時，請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正五邊形性質(zhì)得出∠D=∠BCM=108°，BC=CD，求出∠CBM=∠DCN，根據(jù)ASA推出△BCM≌△CDN即可；
（2）連接CE，BD，根據(jù)正五邊形性質(zhì)得出∠AED=∠EDC=∠BCD=108°，ED=DC=BC，求出N、E、M、O四點共圓，求出∠ENC=∠BMD，證△BCD≌△CDE，推出BD=CE，∠DEC=∠BDC，求出∠NEC=∠MDB，根據(jù)AAS證△ECN≌△DBM，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠D=∠BCM=

(5-2)×180°

5

=108°，BC=CD，
∵∠BON=108°，
∴∠BON=∠CBM+∠BCN=108°，∠BCD=∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN，
在△BCM和△CDN中，

∠CBM=∠DCN BC=CD ∠BCM=∠D

，
∴△BCM≌△CDN（ASA），
∴BM=CN．

（2）BM=CN還成立，
理由是：連接CE，BD，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AED=∠EDC=∠BCD=108°，ED=DC=BC，
∵∠BON=108°，
∴∠NOM+∠AED=180°，
∴N、E、M、O四點共圓，
∴∠ENC+∠EMB=180°，
∵∠EMB+∠DMB=180°，
∴∠ENC=∠BMD，
在△BCD和△CDE中，

BC=DE ∠BCD=∠CDE CD=CD

，
∴△BCD≌△CDE（SAS），
∴BD=CE，∠DEC=∠BDC，
∵∠EDC=∠AED=108°，
∴∠AED-∠DEC=∠CDE-∠CDB，
即∠NEC=∠MDB，
在△ECN和△DBM中，

∠ENC=∠DMB ∠NEC=∠MDB CE=BD

，
∴△ECN≌△DBM（AAS），
∴BM=CN，
即BM=CN還成立．

點評：本題考查了四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，正多邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．