Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x＋3與x軸交于點C，與直線AD交于點A(， )，點D的坐標(biāo)為（0，1）．

（1）求直線AD的解析式；

（2）直線AD與x 軸交于點B，若點E是直線AD上一動點（不與點B重合），當(dāng)△BOD與△BCE相似時，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）求直線AD的解析式y=x+1；（2）點E的坐標(biāo)(2，2)或(3， )．

【解析】試題分析：

(1) 利用點A和點D的坐標(biāo)，結(jié)合一次函數(shù)的一般形式，通過待定系數(shù)法獲得關(guān)于待定系數(shù)的方程，求解這些方程進(jìn)而可以寫出直線AD的解析式.

(2) 根據(jù)題意和相似三角形的相關(guān)知識可知，本小題應(yīng)按∠BOD=∠BEC=90°和∠BOD=∠BCE=90°分為兩種情況進(jìn)行討論. 在第一種情況下，可以過點E作x軸的垂線EF，利用相似三角形的關(guān)系，求得線段EC的長，進(jìn)而在Rt△EFC中利用勾股定理和點E的坐標(biāo)特征獲得相關(guān)的方程，求解這一方程即可獲得點E的坐標(biāo). 在第二種情況下，可以利用EC垂直于x軸的關(guān)系直接得到點E的橫坐標(biāo)值，將點E的橫坐標(biāo)代入直線AD的解析式即可得到點E的縱坐標(biāo)值，進(jìn)而寫出點E的坐標(biāo).

試題解析：

(1) 設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b (k≠0).

將點A和點D的坐標(biāo)分別代入直線AD的解析式，得

，

解之，得

，

∴直線AD的解析式為.

(2) 根據(jù)題意，分別對下面兩種情況進(jìn)行討論.

①∠BOD=∠BEC=90°，即△BOD∽△BEC.

如圖①，過點E作EF⊥BC，垂足為F.

設(shè)點E的坐標(biāo)為(m, n).

∵點E在直線AD上，

∴.

∴點E的坐標(biāo)為(m, ).

∴OF=m，EF=.

∵直線y=-x+3與x軸交于點C，

又∵當(dāng)y=0時，-x+3=0，即x=3，

∴點C的坐標(biāo)為(3, 0)，

∴OC=3.

同理，點B的坐標(biāo)為(-2, 0).

∴OB=2.

∴BC=OB+OC=2+3=5.

∵點D的坐標(biāo)為(0, 1)，

∴OD=1.

∴在Rt△BOD中， .

∵△BOD∽△BEC，

∴.

∴.

∵OF=m，EF=.

∴FC=OC-OF=3-m.

∵在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，

∴，

∴m=2.

∴.

∴點E的坐標(biāo)為(2, 2).

②∠BOD=∠BCE=90°，即△BOD∽△BCE.

設(shè)點E的坐標(biāo)為(m, n).

∵∠BCE=90°，OC=3，

∴m=3.

∵點E在直線AD上，

∴當(dāng)m=3時， .

∴點E的坐標(biāo)為(3, ).

綜上所述，點E的坐標(biāo)為(2, 2)或(3, ).