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        1. 【題目】如圖,∠OAB=45°,點A的坐標是(4,0),AB= ,連結(jié)OB.

          (1)直接寫出點B的坐標.
          (2)動點P從點O出發(fā),沿折線O﹣B﹣A方向向終點A勻速運動,另一動點Q從點O出發(fā),沿OA方向勻速運動,若點P的運動速度為 個單位/秒,點Q的運動速度是1個單位/秒,P、Q兩點同時出發(fā),設(shè)運動時間為t秒,請求出使△OPQ的面積等于1.5時t的值.
          (3)動點P仍按(2)中的方向和速度運動,但Q點從A點向O點運動,速度為1個單位/秒,P、Q與△OAB中的任意一個頂點形成直角三角形時,求此時t(t≠0)的值.

          【答案】
          (1)

          解:過B作BC⊥OA于C,

          ∵∠OAB=45°,

          ∴△ACB為等腰直角三角形,

          ∵AB=2 ,

          ∴BC=AC=2,

          ∵A(4,0),

          ∴OA=4,

          ∴OC=OA﹣AC=4﹣2=2,

          ∴B(2,2)


          (2)

          解:過P作PD⊥OA于D,

          如圖1,

          由(1)得:OC=BC=2,∠BCO=90°,

          ∴∠AOB=45°,

          如圖2,

          由題意得:OP= t,OQ=t,

          ∵△POD是等腰直角三角形,

          ∴PD= =t,

          ∵SOPQ=1.5,

          OQPD=1.5,

          t2=1.5,

          t= ,

          答:當(dāng)t= 時,△OPQ的面積等于1.5


          (3)

          解:分四種情況:

          ①當(dāng)0<t≤2時,∠OPQ=90°,如圖3,

          由題意得:OP= t,AQ=t,OQ=4﹣t,

          則cos45°=

          = ,

          解得:t= ;

          ②當(dāng)0<t≤2時,∠OQP=90°,如圖4,

          由題意得:OP= t,AQ=t,OQ=4﹣t,

          則cos45°= ,

          = ,

          解得:t=2;

          ③當(dāng)2<t<4時,AQ=t,AP=4 t,

          當(dāng)∠APQ=90°時,如圖5,

          cos45°= ,

          = ,

          解得:t=

          ④如圖6,點Q與O重合,點P與A重合,

          ∠PBQ=90°,此時t=4;

          綜上所述,P、Q與△OAB中的任意一個頂點形成直角三角形時,t的值為 或2或 或4.


          【解析】(1)如圖1,過B作BC⊥OA于C,根據(jù)∠OAB=45°,可知△ACB為等腰直角三角形,求出BC和AC的長為2,再由點A的坐標得出OA=4,所以得出B(2,2);(2)如圖2,作△OPQ的高線PD,根據(jù)速度和時間表示動點的路程:OP= t,OQ=t,根據(jù)圖1求出∠AOB=45°,所以△POD是等腰直角三角形,表示出高線PD的長,代入面積公式列等量關(guān)系式可求得結(jié)論;(3)分四種情況進行討論:①當(dāng)0<t≤2時,∠OPQ=90°,如圖3,②當(dāng)0<t≤2時,∠OQP=90°,如圖4,③當(dāng)2<t<4時,∠APQ=90°,如圖5,④點Q與O重合,點P與A重合,如圖6;分別根據(jù)45°的余弦列式求出.
          【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°即可以解答此題.

          練習(xí)冊系列答案
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          =t+﹣t2t﹣t+t2
          =
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