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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,已知:拋物線yax+1)(x3)交x軸于A、C兩點,交y軸于B.且OB2CO

          1)求點AB、C的坐標及二次函數解析式;

          2)在直線AB上方的拋物線上有動點E,作EGx軸交x軸于點G,交AB于點M,作EFAB于點F.若點M的橫坐標為m,求線段EF的最大值.

          3)拋物線對稱軸上是否存在點P使得ABP為直角三角形,若存在請直接寫出點P的坐標;若不存在請說明理由.

          【答案】1y= ;2;(3)點P的坐標為(1,﹣3)或(1,)或(1,1+)或(1,1),理由見解析

          【解析】

          1)利用待定系數法求出、、的坐標即可解決問題;

          2)易用表示線段的長度,再求得的長度關系,根據等角三角函數或三角形相似即可解題;

          3為直角三角形時,分別以三個頂點為直角頂點討論:根據三角形相似和勾股定理列方程解決問題.

          1)對于拋物線yax+1)(x3),令y0,得到ax+1)(x3)=0,解得x=﹣13,

          C(﹣1,0),A3,0),

          OC1,

          OB2OC2,

          B0,2),

          B0,2)代入yax+1)(x3)中得:2=﹣3a,,

          ∴二次函數解析式為;

          2)設直線AB的解析式為:ykx+b,

          A3,0),B0,2)代入得:,解得:,

          ∴直線AB的解析式為:,

          由題意可設,,

          ;

          ∵在RtAOB中,根據勾股定理,得,

          ∵∠EMF+FEM=∠AMG+BAO90°,

          ∵∠AMG=∠EMF

          ∴∠FEM=∠BAO,

          ,

          ,

          ,

          ∴當時,EF有最大值是;

          3)∵A30),B02),

          OA3,OB2

          由對稱得:拋物線的對稱軸是:x1,

          AE312

          設拋物線的對稱軸與x軸相交于點E,當ABP為直角三角形時,存在以下三種情況:

          ①如圖1,當∠BAP90°時,點PAB的下方,

          ∵∠PAE+BAO=∠BAO+ABO90°,

          ∴∠PAE=∠ABO,

          ∵∠AOB=∠AEP

          ∴△ABO∽△PAE,

          ,即

          PE3,

          P1,﹣3);

          ②如圖2,當∠PBA90°時,點PAB的上方,過PPFy軸于F,

          同理得:PFB∽△BOA

          ,即,

          ,

          ,

          ;

          ③如圖3,以AB為直徑作圓與對稱軸交于P1、P2,則∠AP1B=∠AP2B90°,

          P11y),

          AB222+3213,

          由勾股定理得:AB2P1B2+P1A2,

          12+y22+312+y213

          解得:,

          ,

          綜上所述,點P的坐標為(1,﹣3)或(1,)或(1,1+)或(11).

          練習冊系列答案
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          1)這次被調查的學生共有   人,在扇形統計圖中“D”對應的圓心角的度數為   ;

          2)請你將條形統計圖補充完整;

          3)在平時的乒乓球項目訓練中,甲、乙、丙、丁四人表現優(yōu)秀,現決定從這四名同學中任選兩名參加市里組織的乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答).

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          方式一:購買會員卡,每張會員卡費用是元,憑會員卡可免費進園次,免費次數用完以后,每次進園憑會員卡只需元;

          方式二:不購買會員卡,每次進園是(兩種方式每次進園均指單人)設進園次數為( 為非負整數)

          1)根據題意,填寫下表:

          進園次數()

          ···

          方式一收費()

          ···

          方式二收費()

          ···

          2)設方式一收費元,方式二收費元,分別寫出關于的函數關系式;

          3)當時,哪種進園方式花費少?請說明理由.

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          1)當時,

          ①若,求的度數;

          ②求證;

          2)當,時,

          ①是含存在點P,使得是等腰三角形,若存在求出所有符合條件的CP的長;

          ②以D為端點過P作射線DH,作點O關于DE的對稱點Q恰好落在內,則CP的取值范圍為________.(直接寫出結果)

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