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        1. (2013•六盤水)(1)觀察發(fā)現(xiàn)
             如圖(1):若點A、B在直線m同側(cè),在直線m上找一點P,使AP+BP的值最小,做法如下:
             作點B關(guān)于直線m的對稱點B′,連接AB′,與直線m的交點就是所求的點P,線段AB′的長度即為AP+BP的最小值.

             如圖(2):在等邊三角形ABC中,AB=2,點E是AB的中點,AD是高,在AD上找一點P,使BP+PE的值最小,做法如下:
          作點B關(guān)于AD的對稱點,恰好與點C重合,連接CE交AD于一點,則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為
          3
          3

           (2)實踐運用
             如圖(3):已知⊙O的直徑CD為2,
          AC
          的度數(shù)為60°,點B是
          AC 
          的中點,在直徑CD上作出點P,使BP+AP的值最小,則BP+AP的值最小,則BP+AP的最小值為
          2
          2


            (3)拓展延伸
          如圖(4):點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,分別在邊AB、BC上作出點M,點N,使PM+PN+MN的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法.
          分析:(1)觀察發(fā)現(xiàn):利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值;由AB=2,點E是AB的中點,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB,∠BCE=
          1
          2
          ∠BCA=30°,BE=1,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=
          3
          ;
          (2)實踐運用:過B點作弦BE⊥CD,連結(jié)AE交CD于P點,連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱,則AE的長就是BP+AP的最小值;
          由于
          AC
          的度數(shù)為60°,點B是
          AC 
          的中點得到∠BOC=30°,∠AOC=60°,所以∠AOE=60°+30°=90°,于是可判斷△OAE為等腰直角三角形,則AE=
          2
          OA=
          2
          ;
          (3)拓展延伸:分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F,然后連結(jié)EF,EF交AB于M、交BC于N.
          解答:解:(1)觀察發(fā)現(xiàn)
          如圖(2),CE的長為BP+PE的最小值,
          ∵在等邊三角形ABC中,AB=2,點E是AB的中點
          ∴CE⊥AB,∠BCE=
          1
          2
          ∠BCA=30°,BE=1,
          ∴CE=
          3
          BE=
          3

          故答案為
          3
          ;

          (2)實踐運用
          如圖(3),過B點作弦BE⊥CD,連結(jié)AE交CD于P點,連結(jié)OB、OE、OA、PB,
          ∵BE⊥CD,
          ∴CD平分BE,即點E與點B關(guān)于CD對稱,
          AC
          的度數(shù)為60°,點B是
          AC 
          的中點,
          ∴∠BOC=30°,∠AOC=60°,
          ∴∠EOC=30°,
          ∴∠AOE=60°+30°=90°,
          ∵OA=OE=1,
          ∴AE=
          2
          OA=
          2
          ,
          ∵AE的長就是BP+AP的最小值.
          故答案為
          2


          (3)拓展延伸
          如圖(4).
          點評:本題考查了圓的綜合題:弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到,同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題.
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