Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+bx+（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（3，0）．

（1）求拋物線C1的解析式，并寫出其頂點C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物線C2 ， 此時點A，C分別平移到點D，E處．設(shè)點F在拋物線C1上且在x軸的下方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點F的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，設(shè)點M是線段BC上一動點，EN⊥EM交直線BF于點N，點P為線段MN的中點，當(dāng)點M從點B向點C運動時：①tan∠ENM的值如何變化？請說明理由；②點M到達(dá)點C時，直接寫出點P經(jīng)過的路線長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線C1：y=ax2+bx+（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（3，0），

∴解得，

∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+x+，

∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，

∴頂點C的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）

解：如圖1，作CH⊥x軸于H，

∵A（﹣1，0），C（1，2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直線AC的解析式為y=x+1，

∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y軸，

∵DE=AC=2，

∴EF=4，

設(shè)F（m，﹣m2+m+），則E（m，m+1），

∴（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，

解得m=±3，

∴F（﹣3，﹣6）；

（3）

解：①tan∠ENM的值為定值，不發(fā)生變化；

如圖2，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四邊形DFBC是矩形，

作EG⊥AC，交BF于G，

∴EG=BC=AC=2，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴=，

∵F（﹣3，﹣6），EF=4，

∴E（﹣3，﹣2），

∵C（1，2），

∴EC==4，

∴==2，

∴tan∠ENM==2；

∵tan∠ENM的值為定值，不發(fā)生變化；

②點P經(jīng)過的路徑是線段P1P2，如圖3，

∵四邊形BCEG是矩形，GP2=CP2，

∴EP2=BP2，

∵△EGN∽△ECB，

∴=，

∵EC=4，EG=BC=2，

∴EB=2，

∴=，

∴EN=，

∵P1P2是△BEN的中位線，

∴P1P2=EN=；

∴點M到達(dá)點C時，點P經(jīng)過的路線長為．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式為y=x+1，根據(jù)題意求得EF=4，求得EF∥y軸，設(shè)F（m，﹣m2+m+），則E（m，m+1），從而得出（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，解方程即可求得F的坐標(biāo)；
（3）①先求得四邊形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根據(jù)△EGN∽△EMC，對應(yīng)邊成比例即可求得tan∠ENM==2；
②根據(jù)勾股定理和三角形相似求得EN=，然后根據(jù)三角形中位線定理即可求得．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．