Question

已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）
（1）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請(qǐng)求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線等分線段定理得到點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，再直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，要求線段CP的長(zhǎng)，只需根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)．
（2）若PQ與AC不平行，則要使△CPQ成為直角三角形．只需保證∠CPQ=90°．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，則分析以CQ為直徑的圓和斜邊AB的公共點(diǎn)的情況：一是半圓和AB相切；二是半圓和AB相交．首先求得相切時(shí)CQ的值，即可進(jìn)一步求得相交時(shí)CQ的范圍．

解答：解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=13；
∵Q是BC的中點(diǎn)，
∴CQ=QB；
又∵PQ∥AC，
∴AP=PB，即P是AB的中點(diǎn)，
∴Rt△ABC中，CP=

13

2

．

（2）當(dāng)AC與PQ不平行時(shí)，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ為直徑作半圓D，
①當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接DM，則
DM⊥AB，且AC=AM=5，
∴MB=AB-AM=13-5=8；
設(shè)CD=x，則DM=x，DB=12-x；
在Rt△DMB中，DB²=DM²+MB²，
即（12-x）²=x²+8²，
解之得x=

10

3

，
∴CQ=2x=

20

3

；
即當(dāng)CQ=

20

3

且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M位置時(shí)，△CPQ為直角三角形．
②當(dāng)

20

3

＜CQ＜12時(shí)，半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形
③當(dāng)0＜CQ＜

20

3

時(shí)，半圓D與直線AB相離，即點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，均在半圓D外，∠CPQ＜90°，此時(shí)△CPQ不可能為直角三角形．
∴當(dāng)

20

3

≤CQ＜12時(shí)，△CPQ可能為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理的推論以及切線的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算．