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        1. 如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于A(﹣1,0),B(2,0),交y軸于C(0,﹣2),過A,C畫直線.
          (1)求二次函數(shù)的解析式;
          (2)點(diǎn)P在x軸正半軸上,且PA=PC,求OP的長;
          (3)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上,以M為圓心的圓與直線AC相切,切點(diǎn)為H.
          ①若M在y軸右側(cè),且△CHM∽△AOC(點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
          ②若⊙M的半徑為 ,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

          (1)拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2;
          (2)OP=;
          (3)①M(fèi)′(,),
          ②點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,3+)或(,3﹣).

          解析試題分析:(1)根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo),設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a(x+1)(x﹣2),然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值,即可得到二次函數(shù)解析式;
          (2)設(shè)OP=x,然后表示出PC、PA的長度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可;
          (3)①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí),利用同位角相等,兩直線平行判定CM∥x軸,從而得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同,是﹣2,代入拋物線解析式計(jì)算即可;(ii)點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí),根據(jù)(2)的結(jié)論,點(diǎn)M為直線PC與拋物線的另一交點(diǎn),求出直線PC的解析式,與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);
          ②在x軸上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,可以證明△AED和△AOC相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長度,然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度,從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),再作直線DM∥AC,然后求出直線DM的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).
          試題解析:(1)設(shè)該二次函數(shù)的解析式為:y=a(x+1)(x﹣2),
          將x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2),
          解得a=1,
          ∴拋物線的解析式為y=(x+1)(x﹣2),
          即y=x2﹣x﹣2;
          (2)設(shè)OP=x,則PC=PA=x+1,
          在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2
          解得,x=,
          即OP=;
          (3)①∵△CHM∽△AOC,
          ∴∠MCH=∠CAO,
          (i)如圖1,當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí),
          ∵∠OAC+∠OCA=90°,∠MCH=∠OAC
          ∴∠OCA+∠MCH=90°
          ∴∠OCM=90°=∠AOC
          ∴CM∥x軸
          ∴yM=﹣2,
          ∴x2﹣x﹣2=﹣2,
          解得x1=0(舍去),x2=1,
          ∴M(1,﹣2),
          (ii)如圖1,當(dāng)H在點(diǎn)C上方時(shí),
          ∵∠MCH=∠CAO,
          ∴PA=PC,由(2)得,M′為直線CP與拋物線的另一交點(diǎn),
          設(shè)直線CM的解析式為y=kx﹣2,
          把P(,0)的坐標(biāo)代入,得k﹣2=0,
          解得k=,
          ∴y=x﹣2,
          x﹣2=x2﹣x﹣2,
          解得x1=0(舍去),x2=
          此時(shí)y=×﹣2=,
          ∴M′(,),
          ②在x軸上取一點(diǎn)D,如圖(備用圖),過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,使DE=
          在Rt△AOC中,AC==,
          ∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
          ∴△AED∽△AOC,
          ,
          解得AD=2,
          ∴D(1,0)或D(﹣3,0).
          過點(diǎn)D作DM∥AC,交拋物線于M,如圖(備用圖)
          則直線DM的解析式為:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6,
          當(dāng)﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2時(shí),即x2+x+4=0,方程無實(shí)數(shù)根,
          當(dāng)﹣2x+2=x2﹣x﹣2時(shí),即x2+x﹣4=0,解得x1=,x2=,
          ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,3+)或(,3﹣).

          考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)O(0,0),A(5,0),B(4,4).
          (1)求過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式.
          (2)在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M,使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
          (3)作直線x=m交拋物線于點(diǎn)P,交線段OB于點(diǎn)Q,當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),求m的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,3),其頂點(diǎn)為C,對(duì)稱軸為x=1.
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
          (3)將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長度(0<m<3)得到另一個(gè)三角形,將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          已知關(guān)于x一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
          (1)求k取值范圍;
          (2)當(dāng)k最小的整數(shù)時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
          (3)將(2)中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,圖象的其余部分不變,得到一個(gè)新圖象.請(qǐng)你畫出這個(gè)新圖象,并求出新圖象與直線有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          定義1:在△ABC中,若頂點(diǎn)A,B,C按逆時(shí)針方向排列,則規(guī)定它的面積為“有向面積”;若頂點(diǎn)A,B,C按順時(shí)針方向排列,則規(guī)定它的面積的相反數(shù)為△ABC的“有向面積”.“有向面積”用表示,例如圖1中,,圖2中,.
          定義2:在平面內(nèi)任取一個(gè)△ABC和點(diǎn)P(點(diǎn)P不在△ABC的三邊所在直線上),稱有序數(shù)組(,)為點(diǎn)P關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”,記作,例如圖3中,菱形ABCD的邊長為2,,則,點(diǎn)G關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”.在圖3中,我們知道,利用“有向面積”,我們也可以把上式表示為:.
          應(yīng)用新知:
          (1)如圖4,正方形ABCD的邊長為1,則        ,點(diǎn)D關(guān)于△ABC的“面積坐標(biāo)”是       ;探究發(fā)現(xiàn):
          (2)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),
          ①若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AB上),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的“面積坐標(biāo)”為,
          試探究之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
          ②若點(diǎn)是第四象限內(nèi)任意一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P關(guān)于的“面積坐標(biāo)”(用x,y表示);
          解決問題:
          (3)在(2)的條件下,點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,求當(dāng)的值最小時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于A 、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C .點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離為2, 若將二次函數(shù)的圖象沿y軸向上平移3個(gè)單位時(shí),則它恰好過原點(diǎn),且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4.
          (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
          (2)在二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大?若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
          (3)設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D,在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)F,使得?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          拋物線(b,c均為常數(shù))與x軸交于兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)
          (1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
          (2)若P是拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)P到拋物線的對(duì)稱軸的距離為3,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),開口方向都相同,則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”。
          (1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
          (2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2—4mx+2m2+1,和y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),若y1+y2為y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BE=x.
          操作:在射線BC上取一點(diǎn)F,使得EF=BE,以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)、EF為邊作等腰直角三角形EFG,設(shè)△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S.
          (1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
          (2)S是否存在最大值?若存在,請(qǐng)直接寫出最大值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
           

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