Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣5，0），B（1，0），C（0，）三點(diǎn)

（1）填空：拋物線(xiàn)的解析式是　　；

（2）①在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PB+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使以B，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x -2x+ ；（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，）;②存在 ，滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分別為（﹣4，），（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．

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【解析】

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+5）（x﹣1），再把C（0，）代入求出a的值，整理即可求得拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接AC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AC的解析式，由此即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況求點(diǎn)N的坐標(biāo)即可.

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+5）（x﹣1），

把（0，）代入得：﹣5a=，a=﹣，

∴拋物線(xiàn)的解析式是：y=﹣x -2x+；

故答案為： y=﹣x -2x+；

（2）①由題意知，點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖1，連接AC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求．

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，由題意，得，解得，

∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=x+，

∵拋物線(xiàn)：y=﹣=﹣（x﹣2）2+，

∴對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣2，

∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=x+=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，）．

②存在

（ i）當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的上方時(shí)，如圖2所示，

∵四邊形BCNM1或四邊形CNBM2是平行四邊形，

∴CN∥x軸，

∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2對(duì)稱(chēng)，

∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，）

（ II）當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，如圖3所示，作NH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵四邊形BCMN是平行四邊形，

∴BC=MN，∠NMH=∠CBO，

∴Rt△CBO≌Rt△NMH，

∴NH=OC．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），

∴NH=，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣，

∴﹣=﹣即x2+4x﹣10=0，

解得（就是點(diǎn)N1），，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．

綜上所述，滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分別為（﹣4，），（﹣2+，﹣）和（﹣2﹣，﹣）．