【題目】如圖，四邊形 ABCD 中， AC 平分 ∠ DAB ， ∠ ADC= ∠ ACB=90° ， E 為 AB 的中點，連接 CE ， DE ． AC 與 DE 相交于點 F ．
（1）求證： △ ADF ∽△ CEF ；
（2）若 AD=4 ， AB=6 ，求 
的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）由角平分線的定義證明 ∠ DAC= ∠ CAB ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及等邊對等角，證明 ∠ DAC= ∠ ECA ，得到 CE ∥ AD ，進(jìn)而得到 △ ADF ∽△ CEF ；
（2）由△ AFD ∽△ CFE ；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 AD ∶CE=AF ：CF ；進(jìn)而得出答案．
（1）證明： ∵ AC 平分 ∠ DAB ，
∴∠ DAC= ∠ CAB ，
∵ E 為 AB 的中點，
∴ CE=
AB=AE ，
∴∠ EAC= ∠ ECA ；
∵∠ DAC= ∠ CAB ，
∴∠ DAC= ∠ ECA ，
∴CE∥AD
∴△ ADF ∽△ CEF ，
（2）∵△ AFD ∽△ CFE ，
∴ AD∶ CE=AF ∶CF ；
∵ CE=AB=3 ， AD=4 ，
∴ 
∴ 
∴
=
世紀(jì)百通主體課堂小學(xué)課時同步達(dá)標(biāo)系列答案科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】觀察猜想：（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，點D與點A重合，點E在邊BC上，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接BF，BE與BF的位置關(guān)系是 ，BE+BF＝ ；
探究證明：（2）在（1）中，如果將點D沿AB方向移動，使AD＝1，其余條件不變，如圖②，判斷BE與BF的位置關(guān)系，并求BE+BF的值，請寫出你的理由或計算過程；
拓展延伸：（3）如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，點D在邊BA的延長線上，BD＝n，連接DE，將線段DE繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠EDF＝a，連接BF，則BE+BF的值是多少？請用含有n，a的式子直接寫出結(jié)論．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D為AB邊上一動點（點D與點A、B不重合），聯(lián)結(jié)CD，過點D作DE⊥DC交邊BC于點E．
（1）如圖，當(dāng)ED＝EB時，求AD的長；
（2）設(shè)AD＝x，BE＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；
（3）把△BCD沿直線CD翻折得△CDB'，聯(lián)結(jié)AB'，當(dāng)△CAB'是等腰三角形時，直接寫出AD的長．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為切實加強(qiáng)中小學(xué)生交通安全宣傳教育，讓學(xué)生真正知危險、會避險，鄭州市某中學(xué)開展了“交通安全進(jìn)校園”系列活動．為了解七、八年級學(xué)生對交通安全知識的掌握情況，對七、八年級學(xué)生進(jìn)行了測試，現(xiàn)從兩年級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測試成績（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績不低于90分為優(yōu)秀）．
測試成績（百分制）如下：
七年級：52，78，82，86，77，83，92，87，72，81，93，98，81，69，87，86，80，81，82，94
八年級：87，77，90，79，93，83，88，84，82，94，86，88，57，68，89，59，81，90，88，95
分組整理，描述數(shù)據(jù)
分組 | 七年級 | 八年級 | ||
畫“正”計數(shù) | 頻數(shù) | 畫“正”計數(shù) | 頻數(shù) | |
| 一 | 1 |
| 2 |
| 一 | 1 | 一 | 1 |
|
|
| 2 | |
|
| 正正 | 10 | |
|
| 4 | 正 | 5 |
七、八年級抽取學(xué)生的測試成績統(tǒng)計表
年級 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 優(yōu)秀率 |
七年級 | 82 |
| 81 | 20% |
八年級 | 82.5 | 86.5 |
| 25% |
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）表中
__________，
__________，
__________，
（2）若該校七年級270人和八年級280人參加了此次測試，估計參加此次測試成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級哪個年級學(xué)生掌握交通安全知識較好？并說明理由？
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在 △ ABC 中，∠ ACB=90° ，AC=BC=2 ．E ， F 分別是射線 AC 、CB 上的動點，且 AE=BF ， EF 與 AB 交于點 G ，EH⊥ AB 于點 H ，設(shè) AE=x ，GH=y ，下面能夠反映 y 與 x 之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了豐富居民的文化生活．某社區(qū)開展跳舞、繪畫、游泳、唱歌等活動來讓居民娛樂．為了解居民對跳舞、繪畫、游泳、唱歌這四種活動（以下分別用
，
，
，
表示這四種不同活動）的喜愛情況，在“五一”勞動節(jié)期間對某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息回答：
（1）本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人？
（2）將不完整的條形圖補(bǔ)充完整；
（3）若居民區(qū)有8000人，請估計愛唱歌的人數(shù)？
（4）在“五—”勞動節(jié)期間，該社區(qū)針對跳舞、繪畫、游泳、唱歌起帶頭作用的居民各選舉一名進(jìn)行獎勵，同時隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場展示，請用列表或畫樹狀圖法求恰好選中跳舞和繪畫的概率．（跳舞、繪畫、游泳、唱歌分別用，，，表示）
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
經(jīng)過
兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點
為拋物線上一點，若
，求點
的坐標(biāo)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點A（﹣2，0）和點B，交y軸于點C（0，2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點M在拋物線上，且S△AOM=2S△BOC，求點M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，設(shè)點N是線段AC上的一動點，作DN⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DN長度的最大值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知∠MON＝120°，點A，B分別在ON，OM邊上，且OA＝OB，點C在線段OB上（不與點O，B重合），連接CA．將射線CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到射線CA′，將射線BO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)150°與射線CA′交于點D．
（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；
（2）求證：
①∠OAC＝∠DCB；
②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，連接CE）；
（3）點H在線段AO的延長線上，當(dāng)線段OH，OC，OA滿足什么等量關(guān)系時，對于任意的點C都有∠DCH＝2∠DAH，寫出你的猜想并證明．
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