Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，弦CD⊥AB，點(diǎn)C是

AE

的中點(diǎn)，AE分別交CD、BC于G、H，DC與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則下列說(shuō)法：
①GD=GE；
②點(diǎn)G是△ACH的外心；
③∠COB=2∠FEC；
其中正確的是

①②③

（在橫線上填上序號(hào)）．

Answer 1

分析：①如圖，連接AD．由全等三角形的判定定理AAS易證得△CGE≌△AGD，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即GD=GE；
②欲證明點(diǎn)G是△ACH的外心，只需證明點(diǎn)G是AC與CH中垂線的交點(diǎn)即可；
③如圖，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G，連接BG．構(gòu)建圓內(nèi)接四邊形CEBG．由圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)、鄰補(bǔ)角的定義得到∠G+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，則易求
∠G=∠FEC．然后由圓周角定理得到∠COB=2∠FEC．

解答：解：①如圖，連接AD．
∵弦CD⊥AB，點(diǎn)C是

AE

的中點(diǎn)，
∴

AD

=

AC

=

CE

，
∴∠ACG=∠GAC，
∴CG=AG．
∴在△CGE與△AGD中，

∠CEG=∠ADG ∠CGE=∠AGD CG=AG

，
∴△CGE≌△AGD（AAS），
∴GD=GE．
故①正確；

②由①知，∠ACG=∠GAC，則點(diǎn)G在AC邊的中垂線上．
∵AB是直徑．
∴∠ACB=90°．
∴∠HCG=90°-∠ACG．
又∠CHA=90°-∠GAC，
∴∠HCG=∠CHA，即∠HCG=∠CHG，
∴CG=GH，
∴點(diǎn)G在邊CH的中垂線上．
∴點(diǎn)G是△ACH的外心．
故②正確；

③如圖，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G，連接BG．
∵∠G+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，
∴∠G=∠FEC．
又∵∠COB=2∠G，
∴∠COB=2∠FEC．
故③正確．
故答案是：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關(guān)系，三角形的外心以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等．此題的難點(diǎn)是圖中輔助線的做法．