Question

已知平行四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)到動(dòng)直線l的距離分別為a、b、c、d，
（1）如圖①，當(dāng)直線l在平行四邊形ABCD外時(shí)，證明：a+c=b+d；
（2）當(dāng)直線l移動(dòng)至與平行四邊形ABCD相交（l與邊不平行）時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎？若成立，試給予證明，若不成立，試找出a、b、c、d之間的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，利用中位線定理求解，
（2）先假設(shè)，通過(guò)作圖輔助驗(yàn)證，然后一步步得出結(jié)論，再由所得出的結(jié)論找出a、b、c、d之間的關(guān)系，再進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證，即證明結(jié)論正確．題中直線l移動(dòng)至與平行四邊形ABCD相交，存在多種情況，
①當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)中一個(gè)頂點(diǎn)在直線的一側(cè)（不妨設(shè)是D）而另外三個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè)；
②當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)在一側(cè)（不妨設(shè)A，D），另外兩個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè)；
③當(dāng)直線只過(guò)某一頂點(diǎn)，（設(shè)過(guò)頂點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線的一側(cè)，B，C在直線的另一側(cè)）；
④當(dāng)直線與對(duì)角線重合時(shí)（不妨設(shè)是AC）
然后再對(duì)每一種情況進(jìn)行分析．

解答：解：（1）如圖所示，連AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥L于P，

由題意可得，OP為AA₁CC₁的中位線，∴a+c=2OP，
同理，b+d=2OP，∴a+c=b+d．

（2）當(dāng)直線l移動(dòng)至與平行四邊形ABCD相交時(shí)，上述關(guān)系不成立，以下幾種情況說(shuō)明：
①當(dāng)四個(gè)頂點(diǎn)中一個(gè)頂點(diǎn)在直線的一側(cè)（不妨設(shè)是D）而另外三個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè)，則有b=a+c+d．
證明：如圖所示，

由（1）可知，a+c=2OP，連DB₁，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥L于P，交DB₁于Q，
則OQ為△DBB₁的中位線，故OQ=

BB1

2

=

b

2

，同理，PQ=

d

2

，
所以O(shè)P=OQ-PQ=

b

2

 - 

d

2

，即，b-d=2OP，
所以a+c=b-d
即b=a+c+d．
②當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)在一側(cè)（不妨設(shè)A，D），另外兩個(gè)頂點(diǎn)在另一側(cè)，則有a+b=c+d．
證明：如圖所示，在①中有b-d=2OP，連接AC₁，延長(zhǎng)OP交AC₁于R，

則PR為△AA₁C₁的中位線，故PR=

AA1

2

=

a

2

，同理，OR=

c

2

，所以O(shè)P=OR-PR=

c

2

 - 

a

2

，即c-a=2OP，
所以，c-a=b-d，
即a+b=c+d．
③當(dāng)直線只過(guò)某一頂點(diǎn)，（設(shè)過(guò)頂點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線的一側(cè)，B，C在直線的另一側(cè)）則b=d+2c
④當(dāng)直線與對(duì)角線重合時(shí)（不妨設(shè)是AC）則b=d．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)，能夠運(yùn)用三角形中位線定理，會(huì)通過(guò)建立等效平衡找出幾個(gè)不同量之間的關(guān)系．