Question

【題目】如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線．
（1）在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；
（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．

Answer 1

【答案】解：（1）連接BF，則有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八邊形，
∴它的內角都為135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
從而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八邊形ABCDEFGH關于直線BF對稱，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根據(jù)題設可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四邊形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四邊形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB，
∴PQ=PA+AB+BQ=．
故S四邊形PQMN=．

【解析】（1）利用已知得出正八邊形，它的內角都為135°，再利用正八邊形ABCDEFGH關于直線BF對稱，得出∠2+∠3=180°，進而得出答案；
（2）根據(jù)題意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，則PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形，進而求出PQ的長即可得出答案．