Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：已知點(diǎn)A，B，C是不在同一直線上三點(diǎn)，求作一條過(guò)點(diǎn)C的直線l，使得點(diǎn)A，B到直線l的距離相等.

小明的作法如下：

①連接AB；

②分別以A，B為圓心，以大于AB為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)；

③作直線MN，交線段AB于點(diǎn)O；

④作直線CO，則CO就是所求作的直線l.

老師肯定了小明的作法，根據(jù)上面的作法回答下列問(wèn)題：

（1）小明利用尺規(guī)作圖作出的直線MN是線段AB的 ；點(diǎn)O是線段AB的 ；

（2）要證明點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線l的距離相等，需要在圖中畫(huà)出必要的線段，請(qǐng)?jiān)趫D中作出輔助線，并說(shuō)明線段 的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線l的距離，線段 的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線l的距離；

（3）證明點(diǎn)A，B到直線l的距離相等.

Answer 1

【答案】（1）垂直平分線； 中點(diǎn)；（2）作圖見(jiàn)解析，AE， BF ；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)基本作圖可判斷直線MN是線段AB的垂直平分線，則點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)；

（2）利用基本作圖（過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線），作點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷線段AE 的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線l的距離，線段BF 的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線l的距離；

（3）證明△AEO≌△BFO即可得到AE＝BF.

解：（1）直線MN是線段AB的垂直平分線；點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F；

線段AE 的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線l的距離，

線段BF 的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線l的距離；

（3）∵AE⊥l，BF⊥l，

∴∠AEO＝∠BFO＝90°

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AEO≌△BFO，

∴AE＝BF，即點(diǎn)A，B到直線l的距離相等.