Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)A（2，0），P是函數(shù)y=x（x＞0）圖象上一點(diǎn)，PQ⊥AP交y軸正半軸于點(diǎn)Q（如圖）．
（1）試證明：AP=PQ；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為b，那么b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式是

 

；
（3）當(dāng)S△AOQ=

2

3

S△APQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，OP平分∠AOQ．故過(guò)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T，則PH=PT．進(jìn)一步可證明△PHA與△PTQ全等解決問(wèn)題；
（2）四邊形OHPT是正方形，且邊長(zhǎng)為 a．AH=TQ=2-a．根據(jù)OQ+TQ=邊長(zhǎng)a求解；
（3）分別表示相關(guān)面積，列方程求解．

解答：解：（1）過(guò)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T
∵點(diǎn)P在函數(shù)y=x（x＞0）的圖象上，
∴PH=PT，PH⊥PT．（1分）
∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT．
又∠PHA=∠PTQ，
∴△PHA≌△PTQ，（1分）
∴AP=PQ．         （1分）

（2）根據(jù)題意得 AH=2-a=TQ．
∵OQ+TQ=OT=OH，
∴b+2-a=a，
b=2a-2．
故答案為 b=2a-2．（2分）

（3）由（1）、（2）知，
S△AOQ=

1

2

OA×OQ=2a-2，S△APQ=

1

2

AP2=a2-2a+2，（1分）
∴2a-2=

2

3

(a2-2a+2)，
解得 a=

5± 5

2

，（1分）
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

5- 5

2

，

5- 5

2

)或(

5+ 5

2

，

5+ 5

2

)．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大．