Question

已知：如圖，⊙O中，直徑AB=5，在它的不同側(cè)有定點C和動點P，BC：CA=4：3，點P在

AB

上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（l）當點P與點C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；
（2）當點P運動到

AB

的中點時，求CQ的長；
（3）當點P運動到

AB

什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

分析：（1）由題意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，則△ACB∽△PCQ，

AC

PC

=

BC

CQ

，求得CQ；
（2）根據(jù)已知得BE，再由三角函數(shù)得出PE，PC，從而求出CQ；
（3）點P在

AB

上運動時，有CQ=

4

3

PC．當PC最大時，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值．

解答：解：（1）當點P與點C關(guān)于AB對稱時，CP⊥AB，設(shè)垂足為D，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=

12

5

．（2分），
∴PC=

24

5

．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

4

3

PC=

32

5

；（3分）

（2）當點P運動到

AB

的中點時，過點B作BE⊥PC于點E．
∵點P是

AB

的中點，
∴∠PCB=45°，
BE=CE=

2

2

BC=2

2

．（4分）
在Rt△EPB中，tan∠EPB=

BE

PE

=

4

3

∴PE=

3

4

BE=

3 2

2

．
∴PC=PE+CE=

7 2

2

．（5分）．
∴CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．（6分）

（3）點P在

AB

上運動時，恒有CQ=

4

3

PC．
所以PC最大時，CQ取到最大值，
當PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ最大值為

20

3

．（7分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形，是中考壓軸題，難度偏大．