Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上有一動點(diǎn)E，滿足∠DEQ=120°，EQ交射線DC于點(diǎn)F．

(1)求下底DC的長度；
(2)當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時，求線段DF的長度；
(3)請計(jì)算射線EF經(jīng)過點(diǎn)C時，AE的長度．

Answer 1

（1）DC=7 （2）DF＝6  (3) AE=2或5

試題分析：解：（1）作點(diǎn)B到DC的垂線，交DC于G
在梯形ABCD中，因?yàn)椤螦=90°
所以DG=AB=6
因?yàn)椤螧=120°，所以∠C=60°
又因?yàn)锳D=BF=
所以CG=1
所以DC="DG+GC=6+1=7"
（2）解：如圖1，過E點(diǎn)作EG⊥DF，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DG＝3，
∴EG＝AD＝，
∴∠DEG＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴tan60°＝，   
解得GF＝3，
∴DF＝6；

(3)如圖2所示：
過點(diǎn)B作BH⊥DC，，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB延長線于點(diǎn)M，則BH＝AD＝，
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BCH＝60°，
∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，
設(shè)AE＝x，則BE＝6－x，
在R t △ADE中，DE＝＝＝，
在R t △EFM中，EF＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠B＝120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得x＝2或5．
∴AE=2或5．
點(diǎn)評：該題主要考查學(xué)生對勾股定理和直角梯形性質(zhì)的理解和應(yīng)用，以及對特殊角、特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用。