Question

(25分)已知(x+)(y+)=1.求證:x+y=0.

Answer 1

用反證法證明.
(1)先證x=0時(shí)y=0，或y=0時(shí)x=0.如若不然，假設(shè)x=0時(shí)，y>0.則
(x+)(y+)= (y+1)>1，與已知矛盾.
當(dāng)x=0，y<0時(shí)，又有
(x+)(y+)=  (y+1)<  (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y²<1，
與已知矛盾.
故x=0時(shí)，y="0." 同理，y=0時(shí)，x=0.
(2)再證x≠0，y≠0時(shí)，x+y=0.為此先證xy<0.
如若不然，則x>0，y>0或x<0，y<0.
當(dāng)x>0，y>0時(shí)，(x+)(y+)>1，與已知矛盾.
當(dāng)x<0，y<0時(shí)，(x+)(y+)=
=≤
.但(-x>1，-y>1，則<1，
與已知矛盾.從而，xy<0.
以下分兩種情形討論.
(i)若x+y>0，由于原式關(guān)于x、y對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)x>0，y<0.則x>-y，x2>y2，
有(x+)(y+)>( -y)( +y)=1，與已知矛盾.
同理，當(dāng)x<0，y>0時(shí)，也與已知矛盾.
(ii)若x+y<0，不妨設(shè)x>0，y<0.
則x<-y，x²<y²，有(x+)(y+)<(-y)( +y)=1，
與已知矛盾.
由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立.
因此，x+y=0.
綜上知x+y=0.

略