Question

如圖，已知點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，AB=12，∠OAB=30°，經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)l向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）直接寫(xiě)出A、B點(diǎn)坐標(biāo)是A點(diǎn)______，B點(diǎn)______；
（2）用含t的代數(shù)式求出表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)O作OC⊥l于C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，問(wèn)：t為何值時(shí)，以P為圓心、1為半徑的圓與直線(xiàn)OC相切？并寫(xiě)出此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系．

Answer 1

（1）在Rt△OAB中，AB=12，∠OAB=30°，
∴OB=6（30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），
OA=6

3

（勾股定理），
∴A(6

3

，0)，B(0，6)；

（2）作PF⊥y軸于F．
∵∠BAO=30°．
∴在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，
則B′F=

t

2

，PF=

3

2

t．
又BB′=t，
∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-

t

2

=6-

3

2

t，
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

t，6-

3

2

t）．

（3）此題應(yīng)分為兩種情況：
①當(dāng)⊙P和OC第一次相切時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)B′P與OC的交點(diǎn)是M．
根據(jù)題意，知∠BOC=∠BAO=30°．
則B′M=

1

2

OB′=3-

t

2

，
∵PB′=t
∴PM=B′M-PB′=3-

3

2

t．
根據(jù)直線(xiàn)和圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，得
3-

3

2

t=1，t=

4

3

．
此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD顯然相離；
②當(dāng)⊙P和OC第二次相切時(shí)，
則有

3

2

t-3=1，t=

8

3

．
此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD顯然相交．
答：當(dāng)t=

4

3

或

8

3

時(shí)⊙P和OC相切，t=

4

3

時(shí)⊙P和直線(xiàn)CD相離，當(dāng)t=

8

3

時(shí)⊙P和直線(xiàn)CD相交．