Question

【題目】如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則△BPG的周長(zhǎng)的最外值是____________．

Answer 1

【答案】3．

【解析】連接AG交EF于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明A、G關(guān)于EF對(duì)稱，得到P，△PBG周長(zhǎng)最小，求出AB+BG即可得到答案．

解：要使△PBG的周長(zhǎng)最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，
連接AG交EF于M，

∵等邊△ABC，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴AG⊥BC，EF∥BC，
∴AG⊥EF，AM=MG，
∴A、G關(guān)于EF對(duì)稱，
即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí)BP+PG最小，即△PBG的周長(zhǎng)最小，
AP=PG，BP=BE，
最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案為：3．
“點(diǎn)睛”本題主要考查對(duì)等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出BP+PG的最小值是解此題的關(guān)鍵．